Om de wiskunde les leuk te maken (of om op een leuke manier wiskunde te studeren met je kinderen), kan je bingo spelen. Je kunt je afvragen wat het trekken van een getal tussen 1 en 75 te maken heeft met wiskunde. Wel: plaats van gewoon een nummer te trekken uit 75 balletjes, kun je ook een wiskunde berekening laten maken waarvan de uitkomst ligt tussen 1 en 75. Als voorbeeld voor een optelling van getallen En als antwoord Op die manier speel je een spel, dat iedereen wil winnen en waar met spanning naar het volgende getal wordt gekeken, maar maken de leerlingen ondertussen 75 wiskundige berekeningen om telkens het volgende getal te verkrijgen. Het is niet de bedoeling om ingewikkelde berekeningen te vragen (waardoor sommige leerlingen zullen afhaken), maar eenvoudige berekeningen zoals in het voorbeeld, wat voor velen al een moeilijke opdracht is in deze tijden, maar toch voor iedereen een aanvaardbare oefening is. Ikzelf als leerkracht gebruik dat in mijn klassen tijdens de eerste les van het jaar, om het ijs te breken op een leuke manier, en waar je toch sommige berekeningen van het vorige jaar kunt herhalen. En tijdens een nieuw hoofstuk gebruik is dit ook om de nieuwe berekeningen in de vingers te krijgen. Ik heb daarvoor een aantal Bookwidgets gemaakt, waar er 75 berekeningen staan, die random worden getoond en waar je het antwoord krijgt door er op te klikken. Je moet dus zelf geen berekeningen uitvinden, maar je kan mijn voorbeelden gebruiken (het voorbeeld komt uit een Bookwidgets oefening) Deze Bookwidgets vind je hier: Bingo Oefeningen in de klas Volgende onderwerpen zijn reeds beschikbaar (dus 75 bewerkingen met uitkomsten van 1 tot 75) Optellen van getallen Aftrekken van getallen Vermenigvuldigen van getallen Machten van getallen Vierkantswortels En nog bezig Logaritmen Als je zelf een voorstel hebt voor een nieuwe Bingo Bookwidgets, laat maar iets weten. Ik maak met plezier die wel aan. Mvg Jozef Aerts

Een van de langere oefeningen in de wiskunde is het vermenigvuldigen van veeltermen, zeker als die van een hogere graad zijn. Hier een voorbeeld van een vermenigvuldiging van twee veeltermen. Op school gebruik je hiervoor de distributieve eigenschap , en omdat je tussen de eerste haakjes 4 termen hebt en ook 4 termen tussen de tweede haakjes, krijg je na uitwerking 16 termen, die je allemaal naast elkaar opschrijft. Namelijk En dan komt het gedeelte dan je gelijksoortige termen gaat onderstrepen en dan proberen samen te voegen. Dat is een lange berekening, met veel kans op fouten. Nu leg ik je uit hoe dit sneller gaat, met veel minder kansen op fouten. Je kunt hier zien dat bij uitwerking de hoogste graad 6 is ( namelijk 3+3 = 6). Als je dat in een tabel schrijft met alle machten kleiner dan 6 krijg je Als je nu begint te rekenen; Als eerste stap: vermenigvuldig eerste term van de eerste veelterm met alle termen van de tweede veelterm Dan kun je dat bijvoegen in de tabel door de coëfficiënt bij elke macht van x bij te voegen in de overeenkomstige kolom Daarna als tweede stap: tweede term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Let nu op dat je de gegevens in de juiste kolom schrijft Vervolgens: derde term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Dan krijg je en als laatste : vierde term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Dan krijg je deze tabel En dan moet je gewoon de gegevens van elke kolom optellen Eerst 2 , dan -4+4=0, dan 6-8-6=-8 enzovoort Dat kun je dan bijvoegen in de laatste rij van de tabel en dan krijg je de oplossing: Bedankt om deze blog te lezen en nog veel plezier met wiskunde

Ontdek de Kracht van Bookwidgets Bij veel Bookwidgets-oefeningen in mijn oefenboeken vind je nu talloze oefeningen. Dit stelt je in staat om eindeloos te oefenen met telkens andere taken. Hoewel "oneindig" misschien overdreven klinkt, kunnen er tot wel 80.000 verschillende taken worden getoond. Je kunt dus blijven oefenen met nieuwe oefeningen totdat je het onder de knie hebt. Hoe Werken de Bookwidgets? Je kunt deze Bookwidgets herkennen aan titels zoals "6/20". Dit betekent dat er uit de 20 beschikbare oefeningen telkens 6 worden geselecteerd. Dit resulteert in maar liefst 38.760 verschillende taken. Dit systeem zorgt ervoor dat je nooit dezelfde oefening twee keer hoeft te maken, wat je leerervaring verrijkt. Uitwerkingen en Extra Functionaliteiten De uitwerkingen van de oefeningen in mijn oefenboeken zijn nu beschikbaar via een QR-code naar de interactieve oefening. Hier vind je niet alleen de oplossing, maar ook de volledige uitwerking om tot het antwoord te komen. Dit maakt het leren veel effectiever. OPGELET: Je hebt GEEN nieuwe versie nodig om deze oneindige oefeningen te maken of om de uitwerkingen te bekijken. Je kunt deze vinden door op de QR-code of de URL-link van de interactieve oefening te klikken. Honderden Extra Oefeningen Als extra functionaliteit zijn er nu ook honderden uitdagende oefeningen toegevoegd aan de oefenboeken. In de boeken staan de oefeningen opgeschreven en via een QR-code of URL-link kun je naar YouTube gaan. Daar wordt elke oefening stap voor stap uitgewerkt. In de afspeellijst op YouTube vind je bovendien tientallen extra uitgewerkte oefeningen. Uitdagende Oefeningen voor Iedereen Deze oefeningen komen uit mijn eigen creativiteit of zijn gebaseerd op toelatingsexamens voor artsen en tandartsen, evenals ijkingsproeven voor het hoger onderwijs. Dit omvat ook oefeningen voor burgerlijk ingenieurs of de opleiding tot officier bij de KMS. Dit betekent dat er veel uitdagende oefeningen beschikbaar zijn. Waarom Kiezen voor Jozef Aerts Wiskunde? Bij Jozef Aerts Wiskunde willen we de go-to plek zijn voor iedereen die zijn wiskundige vaardigheden wil verbeteren. We bieden een breed scala aan oefenboeken met oplossingen aan. Dit helpt studenten om te slagen voor examens en toelatingstesten. Met onze unieke aanpak en uitgebreide oefenmogelijkheden, ben je verzekerd van een effectieve leerervaring. Bezoek onze website voor meer informatie en om te beginnen met oefenen: www.jozefaertswiskunde.be. Door gebruik te maken van de interactieve oefeningen en de uitgebreide uitwerkingen, kun je je wiskundige vaardigheden aanzienlijk verbeteren. Begin vandaag nog met oefenen en ontdek hoe onze methoden je kunnen helpen slagen!

Waarom deze extra oefenboeken? Als er toch oefeningen staan in de handboeken in de school? Uit de pers hoor je veel berichten dat het heel slecht gaat met de wiskunde kennis van de jeugd van tegenwoordig. In plaats van mee te klagen, heb ik oefeningen wiskunde samengesteld en die ter beschikking gesteld in mijn oefenboeken. Want de reden van deze slechte wiskunde kennis is dat er veel te weinig tijd is tijdens de lessen om veel wiskunde oefeningen te maken. En wiskunde kan je pas als je veel oefeningen maakt. En om de ouders, leerlingen en leerkrachten te helpen met extra wiskunde oefeningen, bestaan deze wiskunde oefenboeken. En ja, in de wiskunde handboeken op school vind je ook wiskunde oefeningen, maar om eerlijk te zijn: als ouder of leerling (en soms zelf als leerkracht) is het soms zoeken naar een naald in een hooiberg om juist die wiskunde oefeningen te zoeken die jij juist dan nodig hebt op dat moment. Mijn oefenboeken zijn daarom erg gestructureerd opgezet: 1 soort wiskunde oefening per bladzijde en alle oefeningen zijn geschreven in het zelfde formaat. Bovendien zijn de oplossingen van alle oefeningen gegeven op dezelfde pagina als de oefening (zodat je niet moet gaan zoeken ergens vanachter in het boek en dus directe feedback) en zijn alle oefeningen uitgewerkt (zodat je kan nakijken indien je de oplossing niet vindt). En ook vind je in mijn oefenboeken ook online Bookwidgets oefeningen. Met deze oefeningen kun je oefeningen maken op je smartphone, tablet of laptop. En bovendien kun jij bij veel van die online oefeningen oneindig keer opnieuw beginnen met telkens nieuwe vragen.

Bij een kwadratische functie kun je de symmetrie as (sa) berekenen met Als voorbeeld Als symmetrie as heb je dan De top van deze kwadratische functie wordt dan bepaald door Zoals je merkt, geen eenvoudige bewerking met breuken en met veel kans op foutjes. Nu als je goed oplet, zie je dat in deze formule geldt: en ook Infeite merk je dat tweede berekening de tegengestelde waarde heeft van de eerste berekening. Dat is een algemeen verschijnsel bij de berekening van de top, namelijk In dit geval Een tweede voorbeeld: De symmetrie as is hier gelijk aan 1 , en dan krijg je voor de top = -3*1 + 4 = 1

In de ruimtemeetkunde is de vergelijking van een rechte gedefinieerd door een punt P op de rechte en een richtingsvector R De basisassen zijn de rechten gevormd door 1 van de eenheidsvectoren. In de figuur hierboven zie je in het rood de x-as, in het groen de y-as en in het blauw de z-as. Welke rechten zijn nu evenwijdig met 1 van de basisassen? In het algemeen, 2 rechten zijn evenwijdig als ze evenredige richtingsvectoren hebben. Rechte evenwijdig met de x-as y-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de y-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de x-as De vergelijking van deze rechte is dan Rechte evenwijdig met de y-as x-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de x-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de y-as De vergelijking van deze rechte is dan Rechte evenwijdig met de z-as x-coördinaat en y-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de x-coördinaat en y-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de z-as De vergelijking van deze rechte is dan

In de ruimtemeetkunde is de vergelijking van een rechte gedefinieerd door een punt P op de rechte en een richtingsvector R De basisvlakken zijn de vlakken gevormd door 2 van de eenheidsvectoren. In de figuur hierboven zie je in het grijs het basisvlak gevormd door de x -as en de y -as, genaamd het xy vlak. Zo heb je ook het xz basisvlak (gevormd door de x - as en z – as) en het yz vlak (gevormd door de y - as en z – as). Welke rechten zijn nu evenwijdig met 1 van deze basisvlakken? Rechte evenwijdig met het xy vlak: de z-coördinaat van de richtingsvector is gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechte heeft een waarde 0 als z-coördinaat bij R, de richtingsvector, en dus evenwijdig met het xy vlak. De vergelijking van deze rechte wordt dan Rechte evenwijdig met het xz vlak: de y-coördinaat van de richtingsvector is gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechte heeft een waarde 0 als y -coördinaat bij R, de richtingsvector en dus evenwijdig met het xz vlak. De vergelijking van deze rechte wordt dan Rechte evenwijdig met yz vlak: de x-coördinaat van de richtingsvector is gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechte heeft een waarde 0 als x -coördinaat bij R, de richtingsvector en dus evenwijdig met het yz vlak. De vergelijking van deze rechte wordt dan

In de ruimtemeetkunde is de vergelijking van een vlak gelijk aan De basisassen zijn de rechten gevormd door 1 van de eenheidsvectoren. In de figuur hierboven zie je in het rood de x-as, in het groen de y-as en in het blauw de z-as. Welke vlakken zijn nu evenwijdig met 1 van de basisassen? Wel een vlak evenwijdig met de x as bevat geen x in de vergelijking. Je houdt dan over vy+ wz + t = 0 Gelijkaardig geldt voor de andere basisasssen Als voorbeeld: als je een vlak krijgt met vergelijking Dan weet je dat dit vlak evenwijdig is met het y as, omdat er geen y voorkomt in de vergelijking

In de ruimtemeetkunde is de vergelijking van een vlak gelijk aan De basisvlakken zijn de vlakken gevormd door 2 van de eenheidsvectoren. In de figuur hierboven zie je in het grijs het basisvlak gevormd door de x -as en de y -as, genaamd het xy vlak. Zo heb je ook het xz basisvlak (gevormd door de x - as en z – as) en het yz vlak (gevormd door de y - as en z – as). Welke vlakken zijn nu evenwijdig met 1 van deze basisvlakken? Wel een vlak evenwijdig met het xy vlak bevat geen x en geen y in de vergelijking. Je houdt dan over wz = t of z = c , waarbij c de waarde op de z as waar het vlak de z as snijdt. Gelijkaardig geldt voor de andere basisvlakken En omgekeerd, als je een vlak krijgt met vergelijking Omdat er geen y en geen z voorkomen in de vergelijking, weet je dat dit vlak evenwijdig is met het yz vlak en dat het gegeven vlak de x-as snijdt in de waarde 2

Bij een kwadratische functie kun je de symmetrie as (sa) berekenen met Als voorbeeld Als symmetrie as heb je dan De top van deze kwadratische functie wordt dan bepaald door Zoals je merkt, geen eenvoudige bewerking met breuken en met veel kans op foutjes. Nu, je kunt de top ook berekenen met behulp van de discriminant We gebruiken de discriminant om de nulwaarden van de functie te berekenen En dan bereken je de top op een gemakkelijkere manier met deze formule In dit voorbeeld berekenen we de discrimant En dan bereken je de top op een gemakkelijke manier Je merkt dat deze berekening veel korter en sneller is. En bovendien heb je de discriminant ook nodig om de nulwaarden te berekenen.

Bij een kwadratische functie kun je de symmetrie as (SA) berekenen met en ook de nulwaarden We veronderstellen hier dat de functie 2 verschillende nulwaarden heeft, dus dat D groter dan 0 is. We onderzoeken nu het verband tussen symmetrie as en de nulwaarden. Als voorbeeld gebruiken we Als symmetrie as heb je dan En voor de nulwaarden Nu, wat is het verband tussen de symmetrie as en de 2 nulwaarden? De 2 nulwaarden zijn 1 en 5. Als je van die 2 nulwaarden het midden berekend (het getal dat juist in het midden ligt van 1 en 5) dan krijg je 3. En dat getal 3 is dan de waarde van de symmetrie as. Je kunt als ook 1 en 5 optellen (krijg je 6) en dat delen door 2, dan krijg je ook 3 Dus als formule Wat is het nut van dit verband tussen de symmetrie as en de nulwaarden? Stel dat je volgende kwadratische functie hebt Dan heb je Maar bij de berekening van de nulwaarden maak je een veelgemaakte fout: in plaats van Dan krijg je als oplossingen -2 en 4 (in plaats van de juiste antwoorden -4 en 2 ) Als je dan deze tip gebruikt, en het midden zoekt van je gevonden antwoorden -2 en 4 krijg je de waarde 1. En dan zie je dat de SA de waarde -1 heeft , maar het midden van -2 en 4 is 1. Dus je hebt ergens een fout gemaakt: oftewel bij de SA oftewel bij de nulwaarden.

De formule voor de berekening van de richtingscoëfficiënt, als 2 punten op de rechte gegeven zijn is: Als voorbeeld Dit is een berekening waar veel min tekens kunnen in voorkomen, en die aanleiding kunnen geven tot foutjes. Daarom raad ik je deze methode aan om de richtingscoëfficiënt te berekenen. Je merkt dat de x coördinaten van A naar B oplopen van -4 tot 7, en dat betekent 11 naar boven. Dat getal 11 wordt dat de noemer van de richtingscoëfficiënt. En zo voor de y coördinaten van A naar B: die dalen van 3 naar -2 en dat betekent dan 5 naar beneden dwz -5. Het getal -5 wordt dan de teller van de richtingscoëfficiënt.