Volgens het PISA-rapport blijven de resultaten voor wiskunde in Vlaanderen zorgwekkend. Gelukkig kunnen leerlingen en ouders zelf bijdragen aan betere prestaties. Met de oefenboeken van Jozef Aerts Wiskunde oefenen leerlingen gericht, bouwen ze hun inzicht stap voor stap op en krijgen ze meer vertrouwen. Ouders kunnen hen daarbij eenvoudig ondersteunen. Regelmatig oefenen maakt het verschil — thuis, op eigen tempo en met duidelijke oefeningen. Meer info op Www.jozefaertswiskunde.be Deel deze mail met zoveel mogelijk mensen, zodat we samen het wiskunde niveau kunnen opkrikken. Alle kleine beetjes helpen, want je weet nooit of er ergens een verborgen parel is die nu misschien verloren gaat, maar door deze oefenboeken kan gered worden

Getallen van 1 tot 100 optellen: Somformule van Gauss Volgens de overlevering zou de beroemde Duitse wiskundige uit de 19de eeuw Carl Friedrich Gauss (mijn grote favoriet uit de wiskundige wereld) op 5 jarige leeftijd dit reeds gekund hebben. Diens leraar op de basisschool zou zijn leerlingen een tijdje bezig willen hebben houden door hen de gehele getallen van 1 tot en met 100 te laten optellen. Dus de bedoeling was om 1 + 2 + 3 + 4 +….. + 99 + 100 te berekenen. Normaal duurt dat een tijdje, zeker in die tijd zonder rekenmachines. Maar de jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, namelijk dat de som van die getallen is 5050. De methode die Gauss reeds op 5 jaar zelf kon gebruiken, maar die reeds langer bekend was, heet daarom nu de Somformule van Gauss. We gaan nu zelf proberen deze getallen te berekenen en zo ook deze Somformule afleiden. Dus we gaan optellen : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Dan merk je (als je goed kijkt) dat het eerste getal (1) plus het laatste getal (100) gelijk is aan 1 + 100 = 101. Het tweede getal (2) plus het voorlaatste getal (99) is gelijk aan 2 + 99 = 101, dus ook 101. Zo ook voor derde getal(3) plus derde laatste getal (98) is ook gelijk aan 101 = 3 + 98 Dus je merkt dat al deze combinaties gelijk zullen zijn aan 101 . Reken maar uit als je niet zeker bent (als voorbeeld 4 + 97 = 5 + 96 = 6 + 95 enzovoort) En in totaal heb je dan (als je eventjes doorrekent) in totaal 50 combinaties (van 1 +100 tot 50+51). En de totale som is dan 101 + 101 + …. + 101 (50 keer optellen), wat gelijk is aan = 50 * 101 = 5050 Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5050 We gaan nu zelf proberen hier zelf een formule uit te halen ( namelijk de bekende Somformule van Gauss) De som was 5050 = 101 * 50. Waar komen die getallen 101 en 50 vandaan ? Het getal 101 is gelijk aan 1 + 100 of het eerste getal(1) + laatste getal(100) = 1 + 100 = 101 Het getal 50 is gelijk aan 100/2 of het laatste getal / 2 = 100 /2 = 50 En dan krijg je als formule : Som = 5050 = 101*50 = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 = ( 1+100 ) * 100/2 = 101 * 100/2 = 101 * 50 = 5050 Een ander voorbeeld Wat is som van de getallen van 1 tot 10 ? dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ? We gebruiken dezelfde regels = Eerste getal = 1 , laatste getal = 10 dus eerste getal + laatste getal = 1 + 10 = 11 Laatste getal / 2 = 10/2 = 5 Dan Som = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 = (1+10) 10/2 = 11 10/2 = 11 * 5 = 55 Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (reken maar eventjes uit ter controle) Nu om te eindigen gaan we zelf de Somformule van Gauss opstellen voor een willekeurig aantal getallen: We zoeken de som van de n eerste gehele getallen : 1 + 2 + 3 + …….. + n We berekenen eerst : Eerste getal + laatste getal = 1 + n Laatste getal/2 = n/2 Dus som van n eerste getallen = (eerste getal + laatste getal) * laatste getal / 2 = Som van n eerste getallen = ( 1 + n) * n/2 Als voorbeeld van het gebruik van de Somformule van Gauss: wat is de som van de eerste 300 getallen ? 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300 Hier eerste getal = 1 , laatste getal = 300 , dus we hebben 1 + 300 = 301 Laatste getal / 2 = 300 / 2 = 150 Dus som =( 1 + n ) * n/2 = ( 1+ 300 )*300/2 = 301 * 150 = 45150 dus 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300 = 45150 ( ter controle: je mag het ook eens narekenen : 1 + 2 + 3 + ….. 299 + 300 = ??? ) Als je hier bent geraakt: bedankt om dit verhaal te lezen. Als je volgende vraag kunt oplossen, kun je eenmalig een PDF boek aankopen met 50% korting op mijn website. Dit doe je door de Code ‘GAUSS XXXX’ te gebruiken, waar XXXX de oplossing is van volgende vraag: Wat is de som van de eerste 140 getallen : dus 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 138 + 139 + 140 = XXXX Als je antwoord zou zijn : 2345 , dan is de code GAUSS 2345 Veel plezier en tot een volgende keer voor meer wiskunde hints en tricks.

Het toelatingsexamen voor geneeskunde, tandheelkunde en diergeneeskunde is een belangrijke stap voor iedereen die een carrière in de medische wereld nastreeft. Naast kennis van biologie en scheikunde, speelt wiskunde een cruciale rol in het examen. Veel studenten onderschatten het belang van wiskundige vaardigheden, terwijl deze juist essentieel zijn om complexe problemen te begrijpen en op te lossen. Dit artikel helpt je om beter voorbereid te zijn op de wiskundevraagstukken die je kunt verwachten, met praktische voorbeelden en tips. Waarom is wiskunde belangrijk voor geneeskunde? Wiskunde is niet alleen een vak op school, maar ook een hulpmiddel in de medische praktijk. Artsen, tandartsen en dierenartsen gebruiken wiskundige principes om: Medicatiedoseringen nauwkeurig te berekenen Statistische gegevens te interpreteren bij onderzoek Anatomische verhoudingen te begrijpen Logische problemen op te lossen tijdens diagnoses Een goede beheersing van wiskunde helpt je om sneller en nauwkeuriger te werken, wat uiteindelijk de kwaliteit van zorg verbetert. Veelvoorkomende wiskundevraagstukken in het toelatingsexamen De wiskundevragen in het toelatingsexamen richten zich vaak op praktische toepassingen en probleemoplossing. Hieronder vind je enkele categorieën met voorbeelden. Rekenen met verhoudingen en procenten In de medische wereld kom je vaak situaties tegen waarin je moet rekenen met verhoudingen en procenten. Bijvoorbeeld: Een medicijn moet worden verdund in een bepaalde verhouding. Hoeveel milliliter van het medicijn en hoeveel milliliter water heb je nodig? Een patiënt krijgt een dosis die 25% hoger is dan de standaarddosis. Wat is de nieuwe dosis als de standaard 200 mg is? Algebra en vergelijkingen Algebra helpt bij het oplossen van onbekende waarden in medische berekeningen. Bijvoorbeeld: Bereken de hoeveelheid vloeistof die een patiënt moet krijgen op basis van lichaamsgewicht. Los vergelijkingen op die verband houden met hartslag of ademhalingsfrequentie. Meetkunde en ruimtelijk inzicht Soms moet je volumes of oppervlakten berekenen, bijvoorbeeld bij het bepalen van de grootte van een tumor of de hoeveelheid vloeistof in een container. Statistiek en kansberekening Statistiek is belangrijk om onderzoeksresultaten te begrijpen en risico’s in te schatten. Voorbeeldvraag: In een onderzoek blijkt dat 20% van de patiënten bijwerkingen ervaart. Wat is de kans dat van 5 willekeurige patiënten precies 2 bijwerkingen hebben? Oplossing: Gebruik de binomiale kansformule. Dit soort vragen test je begrip van kansberekening. Tips om wiskunde voor het toelatingsexamen te oefenen Oefen met oude examens: Dit geeft inzicht in het soort vragen en de moeilijkheidsgraad. Werk aan je basisvaardigheden: Zorg dat je procenten, verhoudingen en algebra goed beheerst. Gebruik praktische voorbeelden: Probeer medische situaties na te bootsen om de relevantie te zien. Plan regelmatig oefentijd in: Consistent oefenen helpt om stress te verminderen en vaardigheden te verbeteren. Vraag hulp als iets onduidelijk is: Leraren, medestudenten of online bronnen kunnen je verder helpen. Veelgemaakte fouten en hoe ze te vermijden Te snel rekenen: Neem de tijd om de vraag goed te lezen en te begrijpen. Verkeerde eenheden gebruiken: Let op milligram, milliliter, kilogram, etc. Onvoldoende controle van antwoorden: Controleer altijd je berekeningen. Niet oefenen met contextvragen: Wiskunde in het toelatingsexamen gaat vaak over praktische toepassingen. Het belang van wiskunde in je toekomstige carrière Wiskunde blijft belangrijk nadat je bent toegelaten tot een medische opleiding. Tijdens je studie en later in de praktijk zul je regelmatig rekenen met doseringen, statistieken en meetkundige berekeningen. Door nu al een sterke basis te leggen, vergroot je je kans op succes en word je een betere zorgverlener. Wiskunde is een onmisbaar onderdeel van het toelatingsexamen voor geneeskunde, tandheelkunde en diergeneeskunde. Door te oefenen met praktische vraagstukken en je basisvaardigheden te versterken, vergroot je je kansen om te slagen. Begin vandaag nog met oefenen en bouw vertrouwen op in je wiskundige vaardigheden. Zo zet je een belangrijke stap richting een succesvolle medische carrière.

DEEL DEZE BLOG POST ALS JE IEMAND KENT DIE HULP NODIG HEEFT VOOR WISKUNDE Verwacht je een slecht rapport voor wiskunde? Of wil je volgend jaar betere resultaten voor wiskunde? Blijf niet bij de pakken zitten en zorg voor genoeg herhalingsoefeningen in de komende twee maanden vakantie, zodat je zoon of dochter met voldoende herhaling aan het nieuwe schooljaar kan beginnen en dat je zoon of dochter vanaf de eerste les mee is. Zoals ze zeggen: goed begonnen is half gewonnen. Meer info op www.jozefaertswiskunde.be

Ga je op vakantie, en wil je toch dat je kinderen goed voorbereid aan het volgend schooljaar beginnen? want 2 maanden vakantie zonder school is lang en kan je veel vergeten. Voor WISKUNDE: je kunt gebruik maken van mijn wiskunde oefenboeken, uitstekend geschikt voor herhaling en ook als een inzicht op wat er nog gaat komen. Beschikbaar in PDF (onmiddelijk beschikbaar voor 18.99 euro) of op papier (binnen 2 weken voor 36.99). Alle oefeningen zijn uitgewerkt en met oplossing, en uitleg via YouTube video. Reeds meer dan 3800 boeken verkocht. Meer info op www.jozefaertswiskunde.be En geef het door als je iemand kent die wiskunde hulp nodig heeft.

De moeilijkste vergelijking voor veel leerlingen is volgende vergelijking x = 0 Een vergelijking zoals x = 1 is meestal duidelijk. Dat betekent dat x de waarde 1 heeft. Dus dan heb je 1 euro of 1 meter of 1 uur, afhankelijk van de context. Maar als uitkomst bij een vergelijking x = 0 of 2x = 0 of -6x = 0 staat, komt er bij veel leerlingen een aarzeling tevoorschijn. “Wat moet ik hier nu mee doen? ” zie ik ze (als leerkracht) denken. Bij x = 1 weet je immers dat x dus gelijk is aan 1 is, maar bij x = 0 dan is x gelijk aan ??? Als leerkracht zeg je dan “dan is x gelijk aan 0” Maar hoe kan iets gelijk zijn aan 0? Je kan wel iets kopen voor 1 euro, dus x = 1 heeft een betekenis die je kan begrijpen (die appel kost je 1 euro of je rijdt 1 km per uur). Maar als je iets ontdekt dat 0 als waarde heeft, wat betekent dat? Kost die appel dan 0 euro (dus een gratis appel)? Of rijd je dan 0 km per uur? Je kunt als leerkracht wel zeggen “x = 0 betekent dat x gelijk is aan 0 “, maar veel leerlingen zullen je raar aankijken en het dan aanvaarden, niet omdat ze het begrijpen maar omdat de leerkracht het heeft gezegd en ze denken erbij dat wiskunde iets raars is en niets voor hen is. Nog moeilijker om te begrijpen is wat “ 2x = 0 “ betekent. Die 2 voor de x maakt het nog meer ongrijpbaar, want als x = 0 betekent dat de appel gratis is (of je staat stil), wat betekent dan 2x = 0 ? Zijn er dan 2 appels gratis? Of sta je dan 2 keer stil? Opnieuw zullen ze wel aanvaarden dat het antwoord 0 is, maar met weinig geloof. In ieder geval x = 0 heeft als antwoord x = 0 of V = {0} 2x = 0 heeft ook als antwoord x = 0 of V ={0}

Om de wiskunde les leuk te maken (of om op een leuke manier wiskunde te studeren met je kinderen), kan je bingo spelen. Je kunt je afvragen wat het trekken van een getal tussen 1 en 75 te maken heeft met wiskunde. Wel: plaats van gewoon een nummer te trekken uit 75 balletjes, kun je ook een wiskunde berekening laten maken waarvan de uitkomst ligt tussen 1 en 75. Als voorbeeld voor een optelling van getallen En als antwoord Op die manier speel je een spel, dat iedereen wil winnen en waar met spanning naar het volgende getal wordt gekeken, maar maken de leerlingen ondertussen 75 wiskundige berekeningen om telkens het volgende getal te verkrijgen. Het is niet de bedoeling om ingewikkelde berekeningen te vragen (waardoor sommige leerlingen zullen afhaken), maar eenvoudige berekeningen zoals in het voorbeeld, wat voor velen al een moeilijke opdracht is in deze tijden, maar toch voor iedereen een aanvaardbare oefening is. Ikzelf als leerkracht gebruik dat in mijn klassen tijdens de eerste les van het jaar, om het ijs te breken op een leuke manier, en waar je toch sommige berekeningen van het vorige jaar kunt herhalen. En tijdens een nieuw hoofstuk gebruik is dit ook om de nieuwe berekeningen in de vingers te krijgen. Ik heb daarvoor een aantal Bookwidgets gemaakt, waar er 75 berekeningen staan, die random worden getoond en waar je het antwoord krijgt door er op te klikken. Je moet dus zelf geen berekeningen uitvinden, maar je kan mijn voorbeelden gebruiken (het voorbeeld komt uit een Bookwidgets oefening) Deze Bookwidgets vind je hier: Bingo Oefeningen in de klas Volgende onderwerpen zijn reeds beschikbaar (dus 75 bewerkingen met uitkomsten van 1 tot 75) Optellen van getallen Aftrekken van getallen Vermenigvuldigen van getallen Machten van getallen Vierkantswortels En nog bezig Logaritmen Als je zelf een voorstel hebt voor een nieuwe Bingo Bookwidgets, laat maar iets weten. Ik maak met plezier die wel aan. Mvg Jozef Aerts

Een van de langere oefeningen in de wiskunde is het vermenigvuldigen van veeltermen, zeker als die van een hogere graad zijn. Hier een voorbeeld van een vermenigvuldiging van twee veeltermen. Op school gebruik je hiervoor de distributieve eigenschap , en omdat je tussen de eerste haakjes 4 termen hebt en ook 4 termen tussen de tweede haakjes, krijg je na uitwerking 16 termen, die je allemaal naast elkaar opschrijft. Namelijk En dan komt het gedeelte dan je gelijksoortige termen gaat onderstrepen en dan proberen samen te voegen. Dat is een lange berekening, met veel kans op fouten. Nu leg ik je uit hoe dit sneller gaat, met veel minder kansen op fouten. Je kunt hier zien dat bij uitwerking de hoogste graad 6 is ( namelijk 3+3 = 6). Als je dat in een tabel schrijft met alle machten kleiner dan 6 krijg je Als je nu begint te rekenen; Als eerste stap: vermenigvuldig eerste term van de eerste veelterm met alle termen van de tweede veelterm Dan kun je dat bijvoegen in de tabel door de coëfficiënt bij elke macht van x bij te voegen in de overeenkomstige kolom Daarna als tweede stap: tweede term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Let nu op dat je de gegevens in de juiste kolom schrijft Vervolgens: derde term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Dan krijg je en als laatste : vierde term van de eerste veelterm vermenigvuldigen met de tweede veelterm Dan krijg je deze tabel En dan moet je gewoon de gegevens van elke kolom optellen Eerst 2 , dan -4+4=0, dan 6-8-6=-8 enzovoort Dat kun je dan bijvoegen in de laatste rij van de tabel en dan krijg je de oplossing: Bedankt om deze blog te lezen en nog veel plezier met wiskunde

Ontdek de Kracht van Bookwidgets Bij veel Bookwidgets-oefeningen in mijn oefenboeken vind je nu talloze oefeningen. Dit stelt je in staat om eindeloos te oefenen met telkens andere taken. Hoewel "oneindig" misschien overdreven klinkt, kunnen er tot wel 80.000 verschillende taken worden getoond. Je kunt dus blijven oefenen met nieuwe oefeningen totdat je het onder de knie hebt. Hoe Werken de Bookwidgets? Je kunt deze Bookwidgets herkennen aan titels zoals "6/20". Dit betekent dat er uit de 20 beschikbare oefeningen telkens 6 worden geselecteerd. Dit resulteert in maar liefst 38.760 verschillende taken. Dit systeem zorgt ervoor dat je nooit dezelfde oefening twee keer hoeft te maken, wat je leerervaring verrijkt. Uitwerkingen en Extra Functionaliteiten De uitwerkingen van de oefeningen in mijn oefenboeken zijn nu beschikbaar via een QR-code naar de interactieve oefening. Hier vind je niet alleen de oplossing, maar ook de volledige uitwerking om tot het antwoord te komen. Dit maakt het leren veel effectiever. OPGELET: Je hebt GEEN nieuwe versie nodig om deze oneindige oefeningen te maken of om de uitwerkingen te bekijken. Je kunt deze vinden door op de QR-code of de URL-link van de interactieve oefening te klikken. Honderden Extra Oefeningen Als extra functionaliteit zijn er nu ook honderden uitdagende oefeningen toegevoegd aan de oefenboeken. In de boeken staan de oefeningen opgeschreven en via een QR-code of URL-link kun je naar YouTube gaan. Daar wordt elke oefening stap voor stap uitgewerkt. In de afspeellijst op YouTube vind je bovendien tientallen extra uitgewerkte oefeningen. Uitdagende Oefeningen voor Iedereen Deze oefeningen komen uit mijn eigen creativiteit of zijn gebaseerd op toelatingsexamens voor artsen en tandartsen, evenals ijkingsproeven voor het hoger onderwijs. Dit omvat ook oefeningen voor burgerlijk ingenieurs of de opleiding tot officier bij de KMS. Dit betekent dat er veel uitdagende oefeningen beschikbaar zijn. Waarom Kiezen voor Jozef Aerts Wiskunde? Bij Jozef Aerts Wiskunde willen we de go-to plek zijn voor iedereen die zijn wiskundige vaardigheden wil verbeteren. We bieden een breed scala aan oefenboeken met oplossingen aan. Dit helpt studenten om te slagen voor examens en toelatingstesten. Met onze unieke aanpak en uitgebreide oefenmogelijkheden, ben je verzekerd van een effectieve leerervaring. Bezoek onze website voor meer informatie en om te beginnen met oefenen: www.jozefaertswiskunde.be. Door gebruik te maken van de interactieve oefeningen en de uitgebreide uitwerkingen, kun je je wiskundige vaardigheden aanzienlijk verbeteren. Begin vandaag nog met oefenen en ontdek hoe onze methoden je kunnen helpen slagen!

Waarom deze extra oefenboeken? Als er toch oefeningen staan in de handboeken in de school? Uit de pers hoor je veel berichten dat het heel slecht gaat met de wiskunde kennis van de jeugd van tegenwoordig. In plaats van mee te klagen, heb ik oefeningen wiskunde samengesteld en die ter beschikking gesteld in mijn oefenboeken. Want de reden van deze slechte wiskunde kennis is dat er veel te weinig tijd is tijdens de lessen om veel wiskunde oefeningen te maken. En wiskunde kan je pas als je veel oefeningen maakt. En om de ouders, leerlingen en leerkrachten te helpen met extra wiskunde oefeningen, bestaan deze wiskunde oefenboeken. En ja, in de wiskunde handboeken op school vind je ook wiskunde oefeningen, maar om eerlijk te zijn: als ouder of leerling (en soms zelf als leerkracht) is het soms zoeken naar een naald in een hooiberg om juist die wiskunde oefeningen te zoeken die jij juist dan nodig hebt op dat moment. Mijn oefenboeken zijn daarom erg gestructureerd opgezet: 1 soort wiskunde oefening per bladzijde en alle oefeningen zijn geschreven in het zelfde formaat. Bovendien zijn de oplossingen van alle oefeningen gegeven op dezelfde pagina als de oefening (zodat je niet moet gaan zoeken ergens vanachter in het boek en dus directe feedback) en zijn alle oefeningen uitgewerkt (zodat je kan nakijken indien je de oplossing niet vindt). En ook vind je in mijn oefenboeken ook online Bookwidgets oefeningen. Met deze oefeningen kun je oefeningen maken op je smartphone, tablet of laptop. En bovendien kun jij bij veel van die online oefeningen oneindig keer opnieuw beginnen met telkens nieuwe vragen.

Bij een kwadratische functie kun je de symmetrie as (sa) berekenen met Als voorbeeld Als symmetrie as heb je dan De top van deze kwadratische functie wordt dan bepaald door Zoals je merkt, geen eenvoudige bewerking met breuken en met veel kans op foutjes. Nu als je goed oplet, zie je dat in deze formule geldt: en ook Infeite merk je dat tweede berekening de tegengestelde waarde heeft van de eerste berekening. Dat is een algemeen verschijnsel bij de berekening van de top, namelijk In dit geval Een tweede voorbeeld: De symmetrie as is hier gelijk aan 1 , en dan krijg je voor de top = -3*1 + 4 = 1

In de ruimtemeetkunde is de vergelijking van een rechte gedefinieerd door een punt P op de rechte en een richtingsvector R De basisassen zijn de rechten gevormd door 1 van de eenheidsvectoren. In de figuur hierboven zie je in het rood de x-as, in het groen de y-as en in het blauw de z-as. Welke rechten zijn nu evenwijdig met 1 van de basisassen? In het algemeen, 2 rechten zijn evenwijdig als ze evenredige richtingsvectoren hebben. Rechte evenwijdig met de x-as y-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de y-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de x-as De vergelijking van deze rechte is dan Rechte evenwijdig met de y-as x-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de x-coördinaat en z-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de y-as De vergelijking van deze rechte is dan Rechte evenwijdig met de z-as x-coördinaat en y-coördinaat van de richtingsvector zijn allebei gelijk aan 0. Als voorbeeld Deze rechten heeft een waarde 0 bij de x-coördinaat en y-coördinaat van de richtingsvector en is dus evenwijdig met de z-as De vergelijking van deze rechte is dan