In deze post kijken naar het verband tussen macht logaritme en n-de wortel

Bij veel wiskundige problemen moet je soms twee getallen vermenigvuldigen waar het product gelijk is aan -1. De manier om dit op te lossen is om het getal om te keren en dan van teken te veranderen

Als je een aantal (positieve en/of negatieve) getallen vermenigvuldigt, kun je soms veel min tekens vinden in je formule. Als voorbeeld deze vermenigvuldiging Je merkt hier inderdaad veel min tekens en je vraagt je af hoe je hier aan moet beginnen. Dan raad ik je aan om eerst na te gaan of het resultaat een positief of negatief getal is, zodat je verlost wordt van al de min tekens. Daarvoor gebruiken we de volgende regel; Bij een oneven aantal min tekens (dus 1, 3, 5, 7 enzovoort) is het resultaat een negatief getal. Bij een even aantal min tekens (dus 2, 4, 6, 8 enzovoort) is het resultaat een positief getal Een andere manier om dit te onthouden is volgend tabel Bewerking Resultaat +.+ + +.- - -.+ - -.- + In het voorbeeld hierboven tel je in totaal 5 keer een min teken, en daar 5 een oneven getal is is het resultaat dus een negatief getal. Dat duid je dan aan door een min teken voor de vermenigvuldiging te plaatsen. Dus kunnen de vermenigvuldiging herschrijven als Dus je ziet dat we nog maar 1 min teken overhouden, die aanduidt dat het een negatief getal is, en de vermenigvuldiging die overblijft is een vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen. Een ander voorbeeld In dit voorbeeld tel je nu in totaal 4 keer een min teken, en omdat 4 een even getal is is dus dus resultaat een positief getal. Dan kun je de vermenigvuldiging herschrijven zonder min teken. Dus kunnen de vermenigvuldiging herschrijven als Dus je ziet dat we nu een positief getal hebben, en ook hier is de vermenigvuldiging die overblijft een vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen.

In deze blog geeft ik een snelle manier om grote getallen met elkaar op te tellen Als voorbeeld gebruiken we We gaan eerst kijken hoeveel je nodig hebt om van 78 naar 100 te gaan. Daarvoor berekenen we 100 – 78 en dat is gelijk aan 22 . Dus als we bij 78 dan 22 optellen , hebben we 100. Van de 34 die we gaan optellen bij 78 hebben we reeds 22 gebruikt, dus er blijven nog 34 – 22 over. Als je dat uitrekent (34 – 22) krijg je 12 . Die 12 tellen we dan op bij 100 en dan krijg je 100 + 12 = 112 Dus Een ander voorbeeld In dit geval nemen we 200 af van 258 en blijft er 58 over. Bij 389 nemen we 300 af en blijft er 89 over. Als we dan 200 en 300 optellen krijg je reeds 500. Daarna moeten we optellen wat er overblijft nl 58 en 89. Hier starten we met 89, omdat dat getal dichter bij 100 ligt dan 56. Je hebt 11 nodig om naar 100 te gaan (11 = 100-89), en er blijft dan 58 – 11 = 47 over . Dat betekent dus 58 + 89 = 147 En dan krijg je

Een n-de wortel van een getal wordt gedefinieerd als Zo is Het is handig om de meest gebruikte n-de wortels in een tabel op te schrijven, zodat je ze zo in je hersenen krijgt. Hoe dat beslis je zelf (lezen, overschrijven , kijken.. ) Een heel belangrijke opmerking over negatieve getallen: Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende post over tips en tricks over wiskunde

Een logaritme van een getal wordt gedefinieerd als Zo is Het is handig om de meest gebruikte logaritmen in een tabel op te schrijven, zodat je ze zo in je hersenen krijgt. Hoe dat beslis je zelf (lezen, overschrijven , kijken.. ) bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer wiskunde tips en tricks

Een macht van een getal wordt voorgesteld als En betekent dan Zo is Een veel gemaakte fout is om uit te rekenen, maar dat is verkeerd. Je moet de getallen met elkaar vermenigvuldigen, niet met elkaar optellen. In die reden is het handig om de meest gebruikte machten in een tabel op te schrijven, zodat je ze zo in je hersenen krijgt. Hoe dat beslis je zelf (lezen, overschrijven , kijken.. ) Hieruit kun je bijvoorbeeld afleiden dat Bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer wiskunde tricks en tips

Op een schaakbord zijn 64 vakjes. Je krijgt twee mogelijkheden: Bij de eerst mogelijkheid krijg je 1000 euro in het eerste vakjes, dan 2000 euro in het tweede , 3000 in het derde en zo voort tot 64000 in het laatste vakje. Bij de tweede mogelijkheid krijg je 1 eurocent in het eerste vak, 2 eurocent in het tweede vak en zo telkens het dubbele in het volgende vakje (dus 4 eurocent in het 3de vakje, 8 eurocent in het 4de vakje enzovoort tot aan het 64ste vakje) Welke mogelijkheid zou je je kiezen ? We gaan beide mogelijkheden onderzoeken . Bij mogelijkheid 1 heb je 1000 + 2000 + 3000 + 4000 + …. + 62000 + 63000 + 64000 euro Dit kun je ook schrijven als 1000*(1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 62 + 63 + 64 ) Voor meer informatie hoe je snel deze getallen kunt optellen verwijs ik naar deze blogpost https://www.jozefaertswiskunde.be/post/snel-getallen-optellen-van-1-tot-100 Uit de blogpost kun je afleiden dat je dan krijgt 1000 (64+1)32 = 2.080.000 euro Bij mogelijkheid 2 heb je bij elke stap een verdubbeling . Daarvoor verwijs ik je naar deze blogpost https://www.jozefaertswiskunde.be/post/opvouwen-van-een-krant-tot-aan-de-maan-of-zelfs-buiten-het-heelal Uit de blogpost kun je afleiden dat na 10 vakjes je 1000 keer zo veel geld hebt Dus vakje 1 = 0,01 euro , vakje 10 = 1000*0,01 = 10 euro , vakje 20 = 1000*10 euro = 2000 Euro In tabel ziet het er zo uit Vakje Mogelijkheid 1 Mogelijkheid 2 1 1000 0,01 10 10000 10 20 20000 10000 = 10^4 30 30000 10000000 = 10^7 40 40000 10000000000=10^10 50 50000 10^13 60 60000 10^16 64 64000 16.10^16 SOM 2080000 Euro 184.467.440.737.095.516 Euro Dit laatste bedrag is een enorm groot bedrag, meer dan er nu bestaat in deze wereld. De schuld van de USA is 38 Triljoen USD en dat is 38.000.000.000.000 euro Dan 184.467.440.737.095.516 / 38.000.000.000.000 = 4854, 40 … dus je hebt dan 4854 keer de enorme schuld van de USA. Dit verhaal is reeds gekend gedurende vele eeuwen. Maar in vroegere verhalen werd er met rijst gerekend, zoals je kan zien op de foto bovenaan. Bedankt om deze blogpost te lezen en tot een volgende post met wiskunde tips en tricks

Als je breuken optelt, gebruik je meestal de volgende regel Eerst zoeken we de gemeenschappelijke noemer 3 * 4 = 12 Daarna vermenigvuldig je de teller van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk 2 * 4 = 8 De eerste breuk wordt dan En vervolgens vermenigvuldig je de teller van de tweede breuk met de noemer van de eerste breuk 3 * 3 = 9 De tweede breuk wordt dan En dan krijg je, na optelling van de tellers In sommige gevallen zijn er snellere methodes om breuken op te tellen, namelijk als de twee tellers beide de waarde 1 hebben Als voorbeeld Je merkt dus dat in de eerste breuk en in de tweede breuk telkens de teller gelijk is aan 1. In dit geval bestaat er een snellere en kortere manier om de som te berekenen. We berekenen daarvoor eerst het product van de noemers = 3 * 4 = 12. Dit getal wordt later de noemer van de som Daarna bereken we de som van de breuken = 3 + 4 = 7. Dit getal wordt later de teller van de som. Het antwoord is dan Dus = Ander voorbeeld Product noemers = 6 * 5 = 30 , som noemers = 6 + 5 = 11 , dus Zo ook Bedankt om deze blog te lezen. En tot de volgende keer voor nog meer wiskunde tips en tricks Snel optellen van breuken (bij tellers gelijk aan 1) Als je breuken optelt, gebruik je meestal de volgende regel = Eerst zoeken we de gemeenschappelijke noemer 3 * 4 = 12 Daarna vermenigvuldig je de teller van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk 2 * 4 = 8 De eerste breuk wordt dan En vervolgens vermenigvuldig je de teller van de tweede breuk met de noemer van de eerste breuk 3 * 3 = 9 De tweede breuk wordt dan En dan krijg je, na optelling van de tellers = = In sommige gevallen zijn er sneller methodes om breuken op te tellen, namelijk als de twee tellers beide de waarde 1 hebben In dit geval : product van de noemers = 3 * 4 = 12 , som van de breuken = 3 + 4 = 7 Het antwoord is dan Dus = Ander voorbeeld = Product noemers = 6 * 5 = 30 , som noemers = 6 + 5 = 11 , dus Zo ook of =

Getallen van 1 tot 100 optellen: Somformule van Gauss Volgens de overlevering zou de beroemde Duitse wiskundige uit de 19de eeuw Carl Friedrich Gauss (mijn grote favoriet uit de wiskundige wereld) op 5 jarige leeftijd dit reeds gekund hebben. Diens leraar op de basisschool zou zijn leerlingen een tijdje bezig willen hebben houden door hen de gehele getallen van 1 tot en met 100 te laten optellen. Dus de bedoeling was om 1 + 2 + 3 + 4 +….. + 99 + 100 te berekenen. Normaal duurt dat een tijdje, zeker in die tijd zonder rekenmachines. Maar de jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, namelijk dat de som van die getallen is 5050. De methode die Gauss reeds op 5 jaar zelf kon gebruiken, maar die reeds langer bekend was, heet daarom nu de Somformule van Gauss. We gaan nu zelf proberen deze getallen te berekenen en zo ook deze Somformule afleiden. Dus we gaan optellen : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 Dan merk je (als je goed kijkt) dat het eerste getal (1) plus het laatste getal (100) gelijk is aan 1 + 100 = 101. Het tweede getal (2) plus het voorlaatste getal (99) is gelijk aan 2 + 99 = 101, dus ook 101. Zo ook voor derde getal(3) plus derde laatste getal (98) is ook gelijk aan 101 = 3 + 98 Dus je merkt dat al deze combinaties gelijk zullen zijn aan 101 . Reken maar uit als je niet zeker bent (als voorbeeld 4 + 97 = 5 + 96 = 6 + 95 enzovoort) En in totaal heb je dab (als je eventjes doorrekent) in totaal 50 combinaties ( van 1 +100 tot 50+51). En de totale som is dan 101 + 101 + …. + 101 (50 keer optellen), wat gelijk is aan = 50 * 101 = 5050 Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5050 We gaan nu zelf proberen hier zelf een formule uit te halen ( namelijk de bekende Somformule van Gauss) De som was 5050 = 101 * 50. Waar komen die getallen 101 en 50 vandaan ? Het getal 101 is gelijk aan 1 + 100 of het eerste getal(1) + laatste getal(100) = 1 + 100 = 101 Het getal 50 is gelijk aan 100/2 of het laatste getal / 2 = 100 /2 = 50 En dan krijg je als formule : Som = 5050 = 101*50 = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 = ( 1+100 ) * 100/2 = 101 * 100/2 = 101 * 50 = 5050 Een ander voorbeeld Wat is som van de getallen van 1 tot 10 ? dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ? We gebruiken dezelfde regels = Eerste getal = 1 , laatste getal = 10 dus eerste getal + laatste getal = 1 + 10 = 11 Laatste getal / 2 = 10/2 = 5 Dan Som = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 = (1+10) 10/2 = 11 10/2 = 11 * 5 = 55 Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (reken maar eventjes uit ter controle) Nu om te eindigen gaan we zelf de Somformule van Gauss opstellen voor een willekeurig aantal getallen: We zoeken de som van de n eerste gehele getallen : 1 + 2 + 3 + …….. + n We berekenen eerst : Eerste getal + laatste getal = 1 + n Laatste getal/2 = n/2 Dus som van n eerste getallen = (eerste getal + laatste getal) * laatste getal / 2 = Som van n eerste getallen = ( 1 + n) * n/2 Als voorbeeld van het gebruik van de Somformule van Gauss: wat is de som van de eerste 300 getallen ? 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300 Hier eerste getal = 1 , laatste getal = 300 , dus we hebben 1 + 300 = 301 Laatste getal / 2 = 300 / 2 = 150 Dus som =( 1 + n ) * n/2 = ( 1+ 300 )*300/2 = 301 * 150 = 45150 dus 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300 = 45150 ( ter controle: je mag het ook eens narekenen : 1 + 2 + 3 + ….. 299 + 300 = ??? ) Als je hier bent geraakt: bedankt om dit verhaal te lezen. Als je volgende vraag kunt oplossen, kun je eenmalig een PDF boek aankopen met 50% korting op mijn website. Dit doe je door de Code ‘GAUSS XXXX’ te gebruiken, waar XXXX de oplossing is van volgende vraag: Wat is de som van de eerste 140 getallen : dus 1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 138 + 139 + 140 = XXXX Als je antwoord zou zijn : 2345 , dan is de code GAUSS 2345 Veel plezier en tot een volgende keer voor meer wiskunde hints en tricks.

De gebruikte wiskunde handboeken in de scholen zijn voornamelijk ontworpen voor leerkrachten en niet zozeer voor de leerlingen. Er wordt geen of weinig rekening mee gehouden dat niet iedereen talent heeft voor wiskunde. Als gevolg daarvan zijn in deze handboeken de gebruikte voorbeelden dikwijls veel te complex voor heel veel leerlingen. Ook zijn er in deze handboeken veel te weinig basisoefeningen beschikbaar, zeker voor de zwakke leerlingen. Bovendien is het meestal erg lastig om de antwoorden te vinden van de oefening. Om kort te zijn: er wordt weinig of geen rekening gehouden met zwakkere leerlingen, die dikwijls de meerderheid vormen. Mijn oefenboeken hebben deze nadelen niet. Mijn oefeningen lopen stapsgewijs op van basis naar uitgebreid, in de bijgevoegde video’s worden de oefening uitgelegd met een eenvoudig voorbeeld, dat voor iedereen verstaanbaar is. En de oplossingen en uitwerkingen van alle oefeningen zijn onmiddellijk beschikbaar. Hier een voorbeeld uit mijn oefenboeken, met als onderwerp bewerkingen met breuken. Eerst vind je voldoende basisoefeningen (hier voor optellen) En op het einde van het hoofdstuk, nadat elke soort bewerking is uitgelegd met basisoefeningen, een aantal gemengde en uitgebreide oefeningen. Als ander voorbeeld: in een handboek wiskunde is dit de eerste oefening op een eerste graadsfunctie: Voor het huren van een lokaal wordt 10 euro gevraagd en voor een frisdrank moet je 1,5 euro betalen. Als je 80 deelnemers hebt en ieder neemt een frisdrank, hoeveel moet je dan in totaal betalen? Dit is dus de eerste oefening bij eerste graadsfunctie. Geloof mij, in de meeste klassen zullen de meeste leerlingen zuchten en zeggen: ik snap er niets van! waarom is wiskunde toch zo moeilijk? Als je deze oefening zo zou opstellen (zoals dat zou voorkomen in mijn oefenboeken) Voor het huren van een lokaal wordt 10 euro gevraagd en voor een frisdrank moet je 1 euro betalen. Als je 10 deelnemers hebt en ieder neemt een frisdrank, hoeveel moet je dan in totaal betalen? Deze oefening (met eenvoudigere getallen) is beter begrijpbaar en legt ook veel beter het begrip eerstegraadsfunctie uit. Eventjes de wiskundige verklaring: uit het handboek y=1,5x+10 , en voor x=80 dan 1,5*80+10 =(rekenmachine zegt) 130 Mijn oefening y=x+10 , en voor x=10 dan 10+10 =20 ( zelf uitgerekend) In beide oefeningen heb je een eerstegraadsfunctie en pas je dezelfde formule toe, maar het is duidelijk dan in mijn oefeningen alles veel duidelijker is en bovendien kan berekend worden zonder rekenmachine, zodat een leerling kan zeggen : ik kan het zelf want ik heb alles zelf gedaan. Daarom: als je hulp zoekt met duidelijke en verstaanbare uitleg, met basisoefeningen en uitgebreide oefeningen, met oplossing en uitwerking www.jozefaertswiskunde.be en als je iemand kent die het moeilijk heeft met wiskunde (leerling, ouder, grootouder etc), stuur dan een copy van deze mail. of deel deze blog op je sociale media, zodat meer leerlingen en hun ouders kunnen gebruik maken van mijn oefenboeken

Wiskunde is voor heel veel leerlingen een struikelblok op school. Uit verschillende onderzoeken blijkt dat een groot deel van de leerlingen moeite heeft met wiskunde, wat leidt tot slechte resultaten. Dit kan frustrerend zijn en het zelfvertrouwen flink aantasten. Gelukkig zijn er effectieve manieren om deze problemen aan te pakken. Onze oefenboeken zijn speciaal ontwikkeld om leerlingen die wiskunde moeilijk vinden te helpen hun vaardigheden te verbeteren door extra, gerichte oefeningen aan te bieden. Waarom slechte wiskunde resultaten zo veel voorkomen Wiskunde is een vak dat vaak als abstract en complex wordt ervaren. Veel leerlingen worstelen met het begrijpen van de basisconcepten, wat zich vertaalt in lagere cijfers. Onderzoeken tonen aan dat: Ongeveer 40% van de leerlingen in het voortgezet onderwijs onvoldoende scoort op wiskundetoetsen. Leerlingen die moeite hebben met basisvaardigheden zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, vaak achterlopen bij complexere onderwerpen. Gebrek aan oefening en onvoldoende ondersteuning thuis of op school bijdragen aan het probleem. Deze cijfers laten zien dat er een duidelijke behoefte is aan extra oefenmateriaal dat aansluit bij de behoeften van leerlingen die het lastig vinden. Hoe onze oefenboeken helpen Onze oefenboeken zijn ontworpen met één doel: het verbeteren van wiskundige vaardigheden door middel van gerichte en toegankelijke oefeningen. Ze zijn vooral geschikt voor leerlingen die extra ondersteuning nodig hebben. De boeken bieden: Stap-voor-stap uitleg van belangrijke wiskundige concepten, zodat leerlingen de theorie beter begrijpen. Veel oefenopgaven met verschillende moeilijkheidsgraden, zodat leerlingen op hun eigen tempo kunnen oefenen. Praktische voorbeelden die aansluiten bij de leefwereld van de leerling, waardoor de stof relevanter en begrijpelijker wordt. Tips en trucs om problemen op te lossen en het zelfvertrouwen te vergroten. Door regelmatig met deze oefenboeken te werken, kunnen leerlingen hun kennis opbouwen en hun resultaten verbeteren. Voor wie zijn deze oefenboeken geschikt? Onze oefenboeken richten zich vooral op leerlingen die: Wiskunde moeilijk vinden en daardoor achterlopen op school. Extra oefening nodig hebben naast de reguliere lessen. Hun basisvaardigheden willen versterken om beter voorbereid te zijn op toetsen. Zelfstandig willen oefenen, maar ook geschikt zijn voor gebruik onder begeleiding van ouders of docenten. Deze boeken zijn een waardevolle aanvulling voor iedereen die serieus aan de slag wil met het verbeteren van wiskundige vaardigheden. Praktische tips om wiskunde te verbeteren met oefenboeken Naast het gebruik van onze oefenboeken zijn er een aantal strategieën die leerlingen kunnen helpen om hun wiskundevaardigheden te verbeteren: Plan vaste oefentijd in : Regelmatig oefenen, bijvoorbeeld 20 tot 30 minuten per dag, helpt om de stof beter te onthouden. Begin met de basis : Zorg dat de fundamenten goed zitten voordat je doorgaat naar moeilijkere onderwerpen. Maak aantekeningen : Schrijf belangrijke formules en stappen op, zodat je ze makkelijk kunt terugvinden. Vraag om hulp : Als iets niet duidelijk is, vraag dan een leraar, ouder of tutor om uitleg. Blijf positief : Wiskunde kan lastig zijn, maar met doorzettingsvermogen en oefening worden resultaten beter. Voorbeeld van een oefening uit onze boeken Een voorbeeld van een oefening die je in onze boeken vindt, is het oplossen van vergelijkingen met één onbekende. Dit is een basisvaardigheid die veel leerlingen lastig vinden. Oefening: Los op: 3x + 5 = 20 Stap-voor-stap oplossing: Verplaats de 5 naar de andere kant en schrijf er een min bij ==> 3x = 20 - 5 Reken 20 - 5 uit ==> 3x = 15 Verplaats de de 3 naar de andere kant en maak er een deling van ==> x = 15/3 Reken 15/3 uit ==> x = 5 Antwoord V = {5} Door dit soort oefeningen regelmatig te maken, leer je niet alleen de methode, maar ook het logisch nadenken dat nodig is voor wiskunde. De impact van extra oefeningen op schoolprestaties Leerlingen die extra oefenen met onze boeken merken vaak dat ze: Meer vertrouwen krijgen in hun wiskundige vaardigheden. Minder stress ervaren bij toetsen. Betere cijfers halen op school. Meer plezier krijgen in het vak omdat ze het beter begrijpen. Deze positieve veranderingen dragen bij aan een betere schoolervaring en meer motivatie om door te gaan. Hoe start je met onze oefenboeken? Beginnen is eenvoudig. Kies het boek dat past bij het niveau en de behoeften van de leerling. Maak een planning en zorg voor een rustige plek om te oefenen. Combineer het oefenen met de tips die hierboven staan om het meeste uit de boeken te halen. Meer info op www.jozefaertswiskunde.be