Als je breuken optelt met een geheel getal, als voorbeeld Dan één van de mogelijke manieren is om een 1 onder het geheel getal te plaatsen En dan zo de breuk uit te werken ( gelijknamig noemer enzovoort). Dan krijg je In sommige gevallen zijn er sneller methodes om een breuk met een geheel getal op te tellen, namelijk een breuk optellen met 1 In dit geval merk je dat we 1 optellen bij een breuk en dan de teller van de breuk gelijk is aan 1. Dan is de noemer (van de som) gelijk aan de noemer van de breuk = 3 En de teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk = 1 + 3 = 4 Ander voorbeeld Ook met breuken waar de teller niet gelijk is aan 1, kun je dit toepassen Hier tellen ook 1 op bij een breuk, maar de waarde van de teller is niet gelijk aan 1. Noemer (van de som) is gelijk aan de noemer van de breuk = 3 Teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk 2 + 3 = 5 Nog een voorbeeld : meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=WxzdNdnuI7g Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende blog met nog meer tips en tricks in wiskunde mvg Jozef Aerts

De stelling van Pythagoras is een van de bekendste, zo niet de meest bekende stelling in de wiskunde en zegt dat in een rechthoekige driehoek volgende eigenschap geldt Nu, 3 getallen die voldoen aan deze eigenschappen worden getallen van Pythagoras genoemd. En als je die getallen van Pythagoras kent, kun je snel oefeningen op de stelling van Pythagoras oplossen. De basis voor de getallen van Pythagoras zijn 3 , 4 en 5 omdat En als gevolg voldoet elk veelvoud van 3 , 4 en 5 dan ook aan de stelling van Pythagoras Hier een overzicht van de meest voorkomende getallen van Pythagoras 1 3 4 5 2 6 8 10 3 9 12 15 4 12 15 20 5 15 20 25 6 18 24 30 7 21 28 35 8 24 32 40 9 27 36 45 10 30 40 50 0,5 1,5 2 2,5 0,3 0,9 1,2 1,5 Ter controle voor n = 7 , dan Dus als een je een rechthoekige driehoek hebt met rechthoekszijden met waarden 12 cm en 15 cm, dan zie je dat deze twee getallen voorkomen in deze lijst, en dan weet je onmiddellijk dat de schuine zijde gelijk is aan 20 cm Ander voorbeeld: rechthoekszijde 36 cm en schuine zijde is 45 cm, dan kan je afleiden dan de andere rechthoekszijde gelijk is aan 27 cm meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=e3tY8uoICSE Bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer tricks en tips in wiskunde mvg Jozef Aerts

In deze blog leg ik uit hoe je kwadraten kunt berekenen met hulp van merkwaardige producten. We gebruiken als formule Als voorbeeld berekenen we We gaan daarvoor 23 splitsen. Je hebt verschillende keuzes: 23 = 20 + 3 = 30 – 7 = 10 + 13 enz. We kiezen hier voor 23 = 20 + 3 omdat je dan gaat werken met optellingen ( en niet met aftrekkingen). Dan krijg je 23 = 20 + 3 Dan Nu gaan we het merkwaardig product toepassen met a = 20 en b = 3 Meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=LyZH40CQGg8

In deze blog leg ik uit hoe je vermenigvuldigingen kunt oplossen met hulp van merkwaardige producten. We gebruiken als formule Als voorbeeld berekenen we Je merk hier dat 78 = 80 – 2 en dat 82 = 80 + 2. Beide getallen zijn gecentreerd rond 80. Alleen in deze gevallen kunnen we deze methode gebruiken. Dan wordt 78 x 82 = ( 80 – 2 ) x ( 80 + 2 ) . Nu kunnen we het merkwaardig product toepassen met a = 80 en b = 2 . Dan krijg je meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=LyZH40CQGg8

Als je een veeltermfunctie hebt, en je wordt gevraagd om de functiewaarde voor een bepaalde x waarde te berekenen, dan hoor je veel leerlingen zuchten, want er komt dan veel rekenwerk aan te pas. Als voorbeeld volgende veeltermfunctie En we zoeken de functiewaarde voor x =-3, dat wil zeggen we berekenen f(-3) Dan moet je in de vergelijking elke x vervangen door de waarde -3. Dan krijg je Dus Zoals je merkt geen gemakkelijke berekening met veel machten en dus met veel kans op rekenfoutjes. Gelukkig bestaat er een andere methode om deze functiewaarde te berekenen. Daarvoor gebruiken we de regel van Horner. Voor de werking van de regel van Horner, verwijs ik naar deze video https://www.youtube.com/watch?v=cJZop4tC_1Y We gaan dus voor dit voorbeeld de regel van Horner toepassen 2 -4 -7 3 -3 -6 30 -69 2 -10 23 -66 We hebben in deze berekeningen nergens machten gebruikt, alleen vermenigvuldigingen en optellen, wat veel eenvoudiger is en minder kans geeft op fouten. En je merkt hier dat het laatste getal in deze tabel gelijk is aan – 66, wat gelijk is aan wat we zojuist ook berekend hebben, door f(-3) te berekenen. Conclusie: ook met de regel van Horner Conclusie: als je de functiewaarde van een veeltermfunctie wilt berekenen, raad ik je de regel van Horner aan, die veel sneller is en veel minder kansen op rekenfouten geeft. meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=jBdgj6JKlmc

Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking gebruiken we meestal de methode met D = discriminant. In sommige gevallen kun je ook de som en product regel gebruiken. Deze regel is alleen aan te raden als a gelijk is aan 1, dus bij De regel zegt dat het product van de oplossingen gelijk is aan de constante term c en de som van de oplossingen gelijk is aan de tegengestelde waarde van de term bij x , dus -b Als voorbeeld Dan het product van de oplossingen is gelijk aan 12 en de som van de oplossingen is gelijk aan 7 (infeite –(-7) = 7) Hoe kun je na deze twee oplossingen vinden? We starten altijd met het product, in dit geval met 12. En we gaan 12 proberen te schrijven als product van 2 gehele getallen en dan kijken of de som van de gevonden getal gelijk is aan 7. Je start altijd met 1, dus in dit geval 12 x 1 Mogelijkheid A: 12 = 1 x 12. Nu 1 + 12 = 13, en dus niet gelijk aan 7. Dus 1 en 12 zijn niet de oplossingen. Mogelijkheid B: 12 = 2 x 6. Nu 2 + 6 = 8, en dus niet gelijk aan 8. Dus 2 en 6 zijn niet de oplossingen. Mogelijkheid C: 12 = 3 x 4. Nu 3 + 4 = 7, en dus - gelijk aan 7. Dus 3 en 4 zijn de oplossingen van deze kwadratische vergelijking. Tweede voorbeeld Dan het product van de oplossingen is gelijk aan -18 en de som van de oplossingen is gelijk aan -3 We starten hier ook met het product, in dit geval -18 Mogelijkheid A: -18 = 1 x (-18). Nu 1 +(-18) = -17, en dus niet gelijk aan -3 Mogelijkheid B: -18 = -1 x 18. Nu -1 + 18 = 17, en dus niet gelijk aan -3. Mogelijkheid C: -18 = -3 x 6. Nu -3 + 6 = 3, en dus niet gelijk aan -3. Mogelijkheid D: -18 = 3 x (-6). Nu 3 + (-6) = -3, en dus gelijk aan 3. Dus 3 en -6 zijn de oplossingen van deze kwadratische vergelijking. meer uitleg met meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=NWWV1ksZRjA en in https://www.youtube.com/watch?v=isC6QKP02Zk en in https://www.youtube.com/watch?v=_qm9Sa793eY&pp=0gcJCdQKAYcqIYzv en in https://www.youtube.com/watch?v=iOUYyiLEE50

Bij veel wiskundige oefeningen in goniometrie kom je soms cosec(x), sec(x) of cot(x) tegen. Wat betekent nu deze termen ? wel Dus ik raad je aan: als je cosec(x) tegenkomt, vervang je dat dan door 1/sin(x), als je sec(x) tegenkomt, vervang je dat door 1/cos(x) en bij cot(x) door 1/tan(x) Dat heb je meer bekende termen en dat zal de oefening gemakkelijker maken. meer uitleg met meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=-_DorPPK8AY

In deze post gaan we vierkantswortels vereenvoudigen Hiervoor gaan we n delen door 2. Als n even is, dan is het quotiënt van n/2 een geheel getal en de rest gelijk aan 0, en als n oneven is, dan is het quotiënt van n/2 een geheel getal en de rest gelijk aan 1 Als voorbeeld gebruiken we In dit geval is 18/2 gelijk aan 9 met rest = 0 en krijg je dan In het geval van 19 heb 19/2 = 9 met rest = 1 en krijg je dan Dus wat je krijgt als oplossing hangt af de waarde van n: even of oneven. Een ander voorbeeld meer uitleg met meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=ldTINw-4SxU en in https://www.youtube.com/watch?v=WCKp9M4Gutc

In deze post gaan we n-de wortels vereenvoudigen Hiervoor gaan we m delen door n. Dan krijg je een quotiënt q en een rest r Als voorbeeld gebruiken we We delen eerst 14 door 3. Dan krijg je quotiënt 4 en rest 2. Het grondtal is hier een parameter a. Het quotiënt 4 wordt dan en de rest 2 wordt dan Je krijgt dan Ter controle: 14 = 4 x 3 + 2. Dit kan je gebruiken om te controleren of je geen fout hebt gemaakt. Een ander voorbeeld We delen dus eerst 39 door 7 en dan heb je quotiënt 5 en rest 4. Als grondtal heb je hier 3. En dus Ter controle: 39 = 5 x 7 + 4 meer uitleg met meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=EiOauNnJ76E en in https://www.youtube.com/watch?v=4oRQSJmg3tU

In deze post kijken naar het verband tussen macht logaritme en n-de wortel

Bij veel wiskundige problemen moet je soms twee getallen vermenigvuldigen waar het product gelijk is aan -1. De manier om dit op te lossen is om het getal om te keren en dan van teken te veranderen

Als je een aantal (positieve en/of negatieve) getallen vermenigvuldigt, kun je soms veel min tekens vinden in je formule. Als voorbeeld deze vermenigvuldiging Je merkt hier inderdaad veel min tekens en je vraagt je af hoe je hier aan moet beginnen. Dan raad ik je aan om eerst na te gaan of het resultaat een positief of negatief getal is, zodat je verlost wordt van al de min tekens. Daarvoor gebruiken we de volgende regel; Bij een oneven aantal min tekens (dus 1, 3, 5, 7 enzovoort) is het resultaat een negatief getal. Bij een even aantal min tekens (dus 2, 4, 6, 8 enzovoort) is het resultaat een positief getal Een andere manier om dit te onthouden is volgend tabel Bewerking Resultaat +.+ + +.- - -.+ - -.- + In het voorbeeld hierboven tel je in totaal 5 keer een min teken, en daar 5 een oneven getal is is het resultaat dus een negatief getal. Dat duid je dan aan door een min teken voor de vermenigvuldiging te plaatsen. Dus kunnen de vermenigvuldiging herschrijven als Dus je ziet dat we nog maar 1 min teken overhouden, die aanduidt dat het een negatief getal is, en de vermenigvuldiging die overblijft is een vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen. Een ander voorbeeld In dit voorbeeld tel je nu in totaal 4 keer een min teken, en omdat 4 een even getal is is dus dus resultaat een positief getal. Dan kun je de vermenigvuldiging herschrijven zonder min teken. Dus kunnen de vermenigvuldiging herschrijven als Dus je ziet dat we nu een positief getal hebben, en ook hier is de vermenigvuldiging die overblijft een vermenigvuldiging met alleen maar positieve getallen.