Snel getallen optellen van 1 tot 100

Getallen van 1 tot 100 optellen: Somformule van Gauss

Volgens de overlevering zou de beroemde Duitse wiskundige uit de 19^de eeuw Carl Friedrich Gauss (mijn grote favoriet uit de wiskundige wereld) op 5 jarige leeftijd dit reeds gekund hebben.  Diens leraar op de basisschool zou zijn leerlingen een tijdje bezig willen hebben houden door hen de gehele getallen  van 1 tot en met 100 te laten optellen. Dus de bedoeling was om 1 + 2 + 3 + 4 +….. + 99 + 100 te berekenen. Normaal duurt dat een tijdje, zeker in die tijd zonder rekenmachines. Maar de jonge Gauss zou het juiste antwoord echter binnen een paar seconden hebben gegeven, namelijk dat de som van die getallen is 5050.

De methode die Gauss reeds op 5 jaar zelf kon gebruiken, maar die reeds langer bekend was, heet daarom nu de Somformule van Gauss.

We gaan nu zelf proberen deze getallen te berekenen en zo ook deze Somformule afleiden.

Dus we gaan optellen :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Dan merk je (als je goed kijkt) dat het eerste getal (1) plus het laatste getal (100) gelijk is aan 1 + 100 = 101.

Het tweede getal (2) plus het voorlaatste getal (99) is gelijk aan 2 + 99 = 101, dus ook 101.

Zo ook voor derde getal(3) plus derde laatste getal (98) is ook gelijk aan 101 = 3 + 98

Dus je merkt dat al deze combinaties gelijk zullen zijn aan 101 . Reken maar uit als je niet zeker bent (als voorbeeld 4 + 97 = 5 + 96 = 6 + 95 enzovoort)

En in totaal heb je dab (als je eventjes doorrekent) in totaal 50 combinaties ( van 1 +100 tot 50+51).

En de totale som is dan

101 + 101 + …. + 101 (50 keer optellen), wat gelijk is aan = 50 * 101 = 5050

Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………… + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 5050

We gaan nu zelf proberen hier zelf een formule uit te halen ( namelijk de bekende Somformule van Gauss)

De som was 5050 = 101 * 50. Waar komen die getallen 101 en 50 vandaan ?

Het getal 101 is gelijk aan 1 + 100 of het  eerste getal(1) + laatste getal(100) = 1 + 100 = 101

Het getal 50 is gelijk aan 100/2 of het laatste getal / 2 = 100 /2 = 50

En dan krijg je als formule :

  Som = 5050 = 101*50 = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 =

( 1+100 ) * 100/2 = 101 * 100/2 = 101 * 50 = 5050

Een ander voorbeeld

Wat is  som van de getallen van 1 tot 10 ? dus

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ?

We gebruiken dezelfde  regels =

Eerste getal = 1 , laatste getal = 10 dus eerste getal + laatste getal = 1 + 10 = 11

Laatste getal / 2 = 10/2 = 5

Dan Som = ( eerste getal + laatste getal ) * laatste getal / 2 =

(1+10) 10/2 = 11 10/2 = 11 * 5 = 55

Dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 (reken maar eventjes uit ter controle)

Nu om te eindigen gaan we zelf de Somformule van Gauss opstellen voor een willekeurig aantal getallen:

We zoeken de som van de n eerste gehele getallen :

 1 + 2 + 3 + …….. + n

We berekenen eerst :

Eerste getal + laatste getal = 1 + n

Laatste getal/2 = n/2

Dus som van n eerste getallen = (eerste getal + laatste getal) * laatste getal / 2 =

Som van n eerste getallen = ( 1 + n) * n/2

Als voorbeeld van het gebruik van de Somformule van Gauss:

wat is de som van de eerste 300 getallen ?

1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300

Hier eerste getal = 1 , laatste getal = 300 , dus we hebben 1 + 300 = 301

Laatste getal / 2 = 300 / 2 = 150

Dus som =( 1 + n ) * n/2 = ( 1+ 300 )*300/2 = 301 * 150 = 45150

dus   1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 298 + 299 + 300 = 45150

( ter controle: je mag het ook eens narekenen : 1 + 2 + 3 + ….. 299 + 300 = ??? )

Als je hier bent geraakt: bedankt om dit verhaal te lezen.

Als je volgende vraag kunt oplossen, kun je eenmalig een PDF boek aankopen met 50% korting op mijn website.

Dit doe je door de Code ‘GAUSS XXXX’ te gebruiken, waar XXXX de oplossing is van volgende vraag:

Wat is de som van de eerste 140 getallen : dus

1 + 2 + 3 + 4 + ……. + 138 + 139 + 140 = XXXX

Als je antwoord zou zijn : 2345 , dan is de code GAUSS 2345

Veel plezier en tot een volgende keer voor meer wiskunde hints en tricks.