Zoekresultaten

Hier gegeven een vector De coördinaten van een vector worden dan gedefinieerd als In dit geval krijg je dan En dus Nu, er bestaat een snellere en kortere manier om deze coördinaten te berekenen. Je merkt (op de tekening of via de coördinaten van de eindpunten) dat de x – waarden stijgen van -2 tot 4, en dat betekent dat er dus 6 waarden bijkomen. Dit getal 6 is de x – coördinaat van de vector. Voor de y – coördinaat: de y waarden dalen van 1 tot -3, en dat betekent dat je 4 waarden bent gezakt, en dat wordt genoteerd als -4. Dus de waarde van de y – coördinaat is gelijk aan -4 En dus Een tweede voorbeeld; Dan voor de x coördinaat: je daalt van 4 naar 3, dus 1 eenheid gedaald en dus x coördinaat = -1 En voor de y coördinaat: je stijgt van -8 naar 6, dus 14 eenheden gestegen en dus y coördinaat = 14

In goniometrie heeft de goniometrische cirkel 4 kwadranten In welk kwadrant ligt nu een hoek (in radialen)? Als voorbeeld: In dit geval is de noemer 3, en gaan we de hoeken schrijven met een noemer 6 De gekozen hoek gaan we nu ook schrijven met noemer 6 of Op dezelfde manier

In deze blog bekijken naar enkele speciale sommen van getallen. Sommige van deze sommen worden in meer detail uitgelegd in andere posten in mijn blog, maar in deze post kijken we naar de formule en geven we een voorbeeld. We kijken hier altijd naar natuurlijke getallen ( dus 0,1,2,3 enzovoort) Som van de eerste n getallen dus 1 + 2 + 3 + …….(n-2) + (n-1) + n Voorbeeld: som van de eerste 18 getallen, dus n = 18, dus Som van de eerste n oneven getallen dus 1 + 3 + 5 + 7 + ….. Voorbeeld: som van de eerste 18 oneven getallen, dus n=18 en dan 18de getal = 35 Som van de eerste n even getallen: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …. Voorbeeld: som van de eerste 18 even getallen, dus n=18 en dan 18de getal = 36, dus Som van de kwadraten van de eerste n getallen: Voorbeeld: som van de kwadraten van de eerste 18 getallen, dus n=18 en dan 18de getal = 18*18 = 324, dus Som van de derde machten van de eerste n getallen: Voorbeeld: som van de derde machten van de eerste 18 getallen, dus n=18 en dan 18de getal = 18*18*18 = 5832, dus

In goniometrie heeft de goniometrische cirkel 4 kwadranten Het eerste kwadrant (I) loopt van 0° tot 90°, het tweeden kwadrant (II) loopt van 90° tot 180°, het derde kwadrant (III) loopt van 180° tot 270° of van -180° tot -90° en het vierde kwadrant (IV) van 270° tot 360° of van -90° tot 0° In welk kwadrant ligt nu een hoek (in graden)? Als je hoek een waarde heeft van 30°, weet je dat 30 ligt tussen 0 en 90, en dus ligt 30° in het eerste kwadrant (I). Als je hoek 150° is, weet je dat 150 ligt tussen 90 en 150, en dus ligt 150° in het tweede kwadrant (II). Als je nu een hoek hebt van 570°, moet je eerst de hoofdwaarde berekenen. Om de hoofdwaarde te berekenen, kijk daarvoor naar mijn blog over hoofdwaarden. De hoofdwaarde van 570° is 210° , en 210 ligt tussen 180 en 270, en dus 570° ligt in het derde kwadrant (III). Als je een hoek hebt van -60° , dan zien we dat -60 ligt tussen -90 en 0 , en dus ligt -60° in het vierde kwadrant.

In goniometrie heeft een hoek geen unieke waarde. Als je bij een hoek 1 of meer volledige cirkels optelt of aftrekt, krijg je terug dezelfde hoek. De hoofdwaarde van een hoek wordt dan gedefinieerd als de hoek die ligt in het interval Hoe bereken je nu de hoofdwaarde van een hoek in graden? Als voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van 780° We gaan van dit getal 360° optellen of aftrekken tot we een waarde krijgen tussen -180° en 180° 780° - 360° = 420°, dan 420° - 360° = 60° Dus hoofdwaarde van 780° = 60° Als tweede voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van -930° Opnieuw gaan we van dit getal 360° optellen of aftrekken tot we een waarde krijgen tussen -180° en 180° -930° + 360° = -570°, dan -570° + 360° = -210°, dan -210° + 360° = 150° Dus hoofdwaarde van -930° = 150°

In goniometrie heeft een hoek geen unieke waarde. Als je bij een hoek 1 of meer volledige cirkels optelt of aftrekt, krijg je terug dezelfde hoek. De hoofdwaarde van een hoek wordt dan gedefinieerd als de hoek die ligt in het interval Hoe bereken je nu de hoofdwaarde van een hoek in radialen? Als voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van In dit geval is de noemer van de hoek gelijk aan 6, dan gaan we terugtellen (of voorttellen) met Dus we trekken van de teller veelvouden van 12 af (of indien nodig optellen met 12). Dit blijf je doen tot de teller ligt tussen Dus in het voorbeeld heb je in de teller 35, dan -12 geeft 23, nog eens -12 geeft 11, nog eens 12 geeft -1 ( dus totdat je tussen -6 en 6 bent aangekomen) Of uitgeschreven Ander voorbeeld: hoofdwaarde van Hier gaan we optellen met stappen van 6, namelijk 3*2. We moeten stoppen tussen -3 en 3 Dus -35, dan -29, dan -23, dan -17, dan -11, dan -5, dan 1 Of

In goniometrie heb je de som en verschil formule, de verdubbelingsformule en de formules van Simpson. Veel formules om te onthouden, maar ik geef je hier een tip om deze formules zelf op te stellen. Als je een sinus wilt omvormen, verkrijg je een formule met sinus en cosinus samen. Als je een cosinus wilt omvormen, verkrijg je een formule met cosinus en cosinus en/of met sinus en sinus samen. Dat betekent sin(x+y) zal omgevormd worden naar iets met sin(x).cos(y) terwijl cos(x+y) zal omgevormd worden naar iets met cos(x).cos(y) en sin(x).sin(y). Onthoud: als er bij een sinus omvorming een + te voorschijn komt, komt bij de gelijkaardige cosinus omvorming een - te voorschijn, en vice versa Om juist te zijn sin(x + y) = sin(x).cos(y) + cos(x).sin(y) terwijl c0s(x + y) = cos(x).cos(y) - sin(x).sin(y) En dan geldt ook sin(x - y) = sin(x).cos(y) - cos(x).sin(y) terwijl c0s(x + y) = cos(x).cos(y) + sin(x).sin(y) Ook voor de verdubbelingsformule geldt hetzelfde principe sin(2x) = 2sin(x).cos(x)

Als je stuk papier of een krant opvouwt, lukt dat je 7 of 8 keer. Je kan dat zelf eens proberen, maar je zal eindigen bij 7 keer ( en soms misschien wel eens 8 keer). Zelfs als je een heel groot stuk papier gebruikt, geraak je niet veel verder, zoals aangetoond in deze video MythBusters Folding Paper Seven plus times Je bent dus fysisch gelimiteerd om een papier op te vouwen, maar wiskundig lukt dat wel. Wat zou er gebeuren indien je toch verder zou kunnen opvouwen? Daarvoor stellen we een tabel op : Aantal keer vouwen Aantal bladzijden 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 Je merkt dat bij elke keer vouwen het aantal bladzijden verdubbelt. Dus telkens 2 keer zo veel. Dat noemt men in wiskunde een exponentiele groei. Je ziet ook dat na 10 keer vouwen dat je 1000 keer zo veel bladzijden hebt ( om juist te zijn 1024, maar ter vereenvoudiging gebruiken we 1000 keer) Nu, in onze veronderstelling gebruiken we een stuk papier of krant, met de dikte van een bladzijde 0,001 mm Dus na 10 keer vouwen, zal de dikte dan zijn 1000*0,001 mm = 1 mm Daarna vouwen nog eens 10 keer , dan hebben we 1000 * 1mm = 1 meter. In totaal hebben we nu 20 keer gevouwen en hebben we dikte van 1 meter Nog eens 10 keer vouwen, dan krijgen we 1000*1 meter = 1 km. En dus na 30 keer vouwen heb je een dikte van 1000 km ( afstand van Antwerpen naar Barcelona). Nu de afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 384.000 km. Dat is 384 keer 1000 km , en dan zie je uit de tabel je daarvoor nog 9 keer moet vouwen. Dus na 39 keer vouwen heb je een dikte gelijk aan de afstand van de aarde tot de maan. Nu zoeken we het aantal keren vouwen op tot aan de zon te geraken. De afstand van de aarde tot de zon is ongeveer 150.000.000 km Na 40 keer vouwen heb je 1000*1000 km = 1.000.000 km. Da afstand naar de zon is dan 150 keer 1.000.000 , dus 8 keer extra vouwen Dan na 48 keer vouwen heb je een dikte gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon. En wanneer ben je dan buiten het heelal? Als we aannemen dat lengte van het heelal gelijk is aan 1,48 x 10 ^ 24 km , dan gaan we uitreken hoeveel keer je moet vouwen on buiten het heelal te geraken? Elke keer 10 vouwen is maal 1000 en 1000 betekent 10^3 We weten reeds dat na 20 keer vouwen je een dikte hebt van 1 km. In deze tabel zie je wat er gebeurt dan telkens nog eens 10 keer vouwen. 20 keer vouwen 1 km 30 keer vouwen 1000=10^3 km 40 keer vouwen 1000000=10^6 km 50 keer vouwen 1000000000=10^9 km 60 keer vouwen 1000000000000=10^12 km 70 keer vouwen 1000000000000000=10^15 km 80 keer vouwen 1000000000000000000=10^18 km 90 keer vouwen 1000000000000000000000=10^21 km 100 keer vouwen 1000000000000000000000000=10^24 km Dus voor de lengte van het heelal moet je 101 keer vouwen , als je start met een dikte van 0,001 mm meer uitleg en meer oefeningen in https://www.youtube.com/watch?v=SSw0yXt8c-Q Dank je wel om deze blog te lezen en tot een volgende post met meer wiskunde tips en tricks

In de wiskunde komen op veel plaatsen merkwaardige producten voor. Je leert ze aan in de 1ste graad, maar gedurende je hele opleiding kom je merkwaardige producten tegen in de wiskunde. De naam ‘merkwaardig product’ komt van het feit dat Hier een overzicht van de meeste gebruikte formules bij merkwaardige producten. Zoals reeds gezegd, merkwaardige producten komen heel veel voor in de wiskunde en daarom is het nuttig om basis merkwaardige producten snel te kunnen uitrekenen. Hier is een lijst van de meest voorkomende merkwaardige producten. Probeer deze lijst op een of andere manier te onthouden en je zult zien dat veel oefeningen op merkwaardige producten een link hebben naar deze lijst. meer uitleg en meer uitgewerkte oefening in https://www.youtube.com/watch?v=ksyRU1a0GAQ bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer wiskunde tips en tricks Jozef Aerts

Als je de afstand tussen 2 punten berekent, gebruik je volgende formule Als voorbeeld berekenen we de afstand tussen P(1,5) en Q(-3,8) Lange berekening waarbij je goed moet opletten om alles juist te plaatsen Dit gaat echter ook op een veel snellere manier, door het verschil tussen de coördinaten te berekenen. Eerst zoeken we het verschil tussen de x coördinaten, dus tussen 1 en -3 . Dat verschil is 4 . Je mag ook schrijven tussen -3 en 1 . Dan krijg je ook 4 . Daarna zoeken we het verschil tussen de y coördinaten, dus tussen 5 en 8 . Dat verschil is 3 . Dan krijg je Een ander voorbeeld : Afstand tussen P(1,-2) en Q(7,3) Verschil x coördinaten tussen 1 en 7 = 6 Verschil y coördinaten tussen -2 en 3 = 5 Dus = Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende post met meet tips en tricks over wiskunde meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=meF5cRd_3rM =

Als je breuken optelt met een geheel getal, als voorbeeld Dan één van de mogelijke manieren is om een 1 onder het geheel getal te plaatsen En dan zo de breuk uit te werken ( gelijknamig noemer enzovoort). Dan krijg je In sommige gevallen zijn er sneller methodes om een breuk met een geheel getal op te tellen, namelijk een breuk optellen met 1 In dit geval merk je dat we 1 optellen bij een breuk en dan de teller van de breuk gelijk is aan 1. Dan is de noemer (van de som) gelijk aan de noemer van de breuk = 3 En de teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk = 1 + 3 = 4 Ander voorbeeld Ook met breuken waar de teller niet gelijk is aan 1, kun je dit toepassen Hier tellen ook 1 op bij een breuk, maar de waarde van de teller is niet gelijk aan 1. Noemer (van de som) is gelijk aan de noemer van de breuk = 3 Teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk 2 + 3 = 5 Nog een voorbeeld : meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=WxzdNdnuI7g Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende blog met nog meer tips en tricks in wiskunde mvg Jozef Aerts

De stelling van Pythagoras is een van de bekendste, zo niet de meest bekende stelling in de wiskunde en zegt dat in een rechthoekige driehoek volgende eigenschap geldt Nu, 3 getallen die voldoen aan deze eigenschappen worden getallen van Pythagoras genoemd. En als je die getallen van Pythagoras kent, kun je snel oefeningen op de stelling van Pythagoras oplossen. De basis voor de getallen van Pythagoras zijn 3 , 4 en 5 omdat En als gevolg voldoet elk veelvoud van 3 , 4 en 5 dan ook aan de stelling van Pythagoras Hier een overzicht van de meest voorkomende getallen van Pythagoras 1 3 4 5 2 6 8 10 3 9 12 15 4 12 15 20 5 15 20 25 6 18 24 30 7 21 28 35 8 24 32 40 9 27 36 45 10 30 40 50 0,5 1,5 2 2,5 0,3 0,9 1,2 1,5 Ter controle voor n = 7 , dan Dus als een je een rechthoekige driehoek hebt met rechthoekszijden met waarden 12 cm en 15 cm, dan zie je dat deze twee getallen voorkomen in deze lijst, en dan weet je onmiddellijk dat de schuine zijde gelijk is aan 20 cm Ander voorbeeld: rechthoekszijde 36 cm en schuine zijde is 45 cm, dan kan je afleiden dan de andere rechthoekszijde gelijk is aan 27 cm meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=e3tY8uoICSE Bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer tricks en tips in wiskunde mvg Jozef Aerts