In goniometrie heeft een hoek geen unieke waarde. Als je bij een hoek 1 of meer volledige cirkels optelt of aftrekt, krijg je terug dezelfde hoek. De hoofdwaarde van een hoek wordt dan gedefinieerd als de hoek die ligt in het interval Hoe bereken je nu de hoofdwaarde van een hoek in graden? Als voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van 780° We gaan van dit getal 360° optellen of aftrekken tot we een waarde krijgen tussen -180° en 180° 780° - 360° = 420°, dan 420° - 360° = 60° Dus hoofdwaarde van 780° = 60° Als tweede voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van -930° Opnieuw gaan we van dit getal 360° optellen of aftrekken tot we een waarde krijgen tussen -180° en 180° -930° + 360° = -570°, dan -570° + 360° = -210°, dan -210° + 360° = 150° Dus hoofdwaarde van -930° = 150°

In goniometrie heeft een hoek geen unieke waarde. Als je bij een hoek 1 of meer volledige cirkels optelt of aftrekt, krijg je terug dezelfde hoek. De hoofdwaarde van een hoek wordt dan gedefinieerd als de hoek die ligt in het interval Hoe bereken je nu de hoofdwaarde van een hoek in radialen? Als voorbeeld zoeken we de hoofwaarde van In dit geval is de noemer van de hoek gelijk aan 6, dan gaan we terugtellen (of voorttellen) met Dus we trekken van de teller veelvouden van 12 af (of indien nodig optellen met 12). Dit blijf je doen tot de teller ligt tussen Dus in het voorbeeld heb je in de teller 35, dan -12 geeft 23, nog eens -12 geeft 11, nog eens 12 geeft -1 ( dus totdat je tussen -6 en 6 bent aangekomen) Of uitgeschreven Ander voorbeeld: hoofdwaarde van Hier gaan we optellen met stappen van 6, namelijk 3*2. We moeten stoppen tussen -3 en 3 Dus -35, dan -29, dan -23, dan -17, dan -11, dan -5, dan 1 Of

In goniometrie heb je de som en verschil formule, de verdubbelingsformule en de formules van Simpson. Veel formules om te onthouden, maar ik geef je hier een tip om deze formules zelf op te stellen. Als je een sinus wilt omvormen, verkrijg je een formule met sinus en cosinus samen. Als je een cosinus wilt omvormen, verkrijg je een formule met cosinus en cosinus en/of met sinus en sinus samen. Dat betekent sin(x+y) zal omgevormd worden naar iets met sin(x).cos(y) terwijl cos(x+y) zal omgevormd worden naar iets met cos(x).cos(y) en sin(x).sin(y). Onthoud: als er bij een sinus omvorming een + te voorschijn komt, komt bij de gelijkaardige cosinus omvorming een - te voorschijn, en vice versa Om juist te zijn sin(x + y) = sin(x).cos(y) + cos(x).sin(y) terwijl c0s(x + y) = cos(x).cos(y) - sin(x).sin(y) En dan geldt ook sin(x - y) = sin(x).cos(y) - cos(x).sin(y) terwijl c0s(x + y) = cos(x).cos(y) + sin(x).sin(y) Ook voor de verdubbelingsformule geldt hetzelfde principe sin(2x) = 2sin(x).cos(x)

Als je stuk papier of een krant opvouwt, lukt dat je 7 of 8 keer. Je kan dat zelf eens proberen, maar je zal eindigen bij 7 keer ( en soms misschien wel eens 8 keer). Zelfs als je een heel groot stuk papier gebruikt, geraak je niet veel verder, zoals aangetoond in deze video MythBusters Folding Paper Seven plus times Je bent dus fysisch gelimiteerd om een papier op te vouwen, maar wiskundig lukt dat wel. Wat zou er gebeuren indien je toch verder zou kunnen opvouwen? Daarvoor stellen we een tabel op : Aantal keer vouwen Aantal bladzijden 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 Je merkt dat bij elke keer vouwen het aantal bladzijden verdubbelt. Dus telkens 2 keer zo veel. Dat noemt men in wiskunde een exponentiele groei. Je ziet ook dat na 10 keer vouwen dat je 1000 keer zo veel bladzijden hebt ( om juist te zijn 1024, maar ter vereenvoudiging gebruiken we 1000 keer) Nu, in onze veronderstelling gebruiken we een stuk papier of krant, met de dikte van een bladzijde 0,001 mm Dus na 10 keer vouwen, zal de dikte dan zijn 1000*0,001 mm = 1 mm Daarna vouwen nog eens 10 keer , dan hebben we 1000 * 1mm = 1 meter. In totaal hebben we nu 20 keer gevouwen en hebben we dikte van 1 meter Nog eens 10 keer vouwen, dan krijgen we 1000*1 meter = 1 km. En dus na 30 keer vouwen heb je een dikte van 1000 km ( afstand van Antwerpen naar Barcelona). Nu de afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 384.000 km. Dat is 384 keer 1000 km , en dan zie je uit de tabel je daarvoor nog 9 keer moet vouwen. Dus na 39 keer vouwen heb je een dikte gelijk aan de afstand van de aarde tot de maan. Nu zoeken we het aantal keren vouwen op tot aan de zon te geraken. De afstand van de aarde tot de zon is ongeveer 150.000.000 km Na 40 keer vouwen heb je 1000*1000 km = 1.000.000 km. Da afstand naar de zon is dan 150 keer 1.000.000 , dus 8 keer extra vouwen Dan na 48 keer vouwen heb je een dikte gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon. En wanneer ben je dan buiten het heelal? Als we aannemen dat lengte van het heelal gelijk is aan 1,48 x 10 ^ 24 km , dan gaan we uitreken hoeveel keer je moet vouwen on buiten het heelal te geraken? Elke keer 10 vouwen is maal 1000 en 1000 betekent 10^3 We weten reeds dat na 20 keer vouwen je een dikte hebt van 1 km. In deze tabel zie je wat er gebeurt dan telkens nog eens 10 keer vouwen. 20 keer vouwen 1 km 30 keer vouwen 1000=10^3 km 40 keer vouwen 1000000=10^6 km 50 keer vouwen 1000000000=10^9 km 60 keer vouwen 1000000000000=10^12 km 70 keer vouwen 1000000000000000=10^15 km 80 keer vouwen 1000000000000000000=10^18 km 90 keer vouwen 1000000000000000000000=10^21 km 100 keer vouwen 1000000000000000000000000=10^24 km Dus voor de lengte van het heelal moet je 101 keer vouwen , als je start met een dikte van 0,001 mm meer uitleg en meer oefeningen in https://www.youtube.com/watch?v=SSw0yXt8c-Q Dank je wel om deze blog te lezen en tot een volgende post met meer wiskunde tips en tricks

In de wiskunde komen op veel plaatsen merkwaardige producten voor. Je leert ze aan in de 1ste graad, maar gedurende je hele opleiding kom je merkwaardige producten tegen in de wiskunde. De naam ‘merkwaardig product’ komt van het feit dat Hier een overzicht van de meeste gebruikte formules bij merkwaardige producten. Zoals reeds gezegd, merkwaardige producten komen heel veel voor in de wiskunde en daarom is het nuttig om basis merkwaardige producten snel te kunnen uitrekenen. Hier is een lijst van de meest voorkomende merkwaardige producten. Probeer deze lijst op een of andere manier te onthouden en je zult zien dat veel oefeningen op merkwaardige producten een link hebben naar deze lijst. meer uitleg en meer uitgewerkte oefening in https://www.youtube.com/watch?v=ksyRU1a0GAQ bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer wiskunde tips en tricks Jozef Aerts

Als je aan een leerling vraag waar 11/3 ligt op de getallenas, krijg je dikwijls als antwoord: euh, of ergens bij 11 of op 11,3 of ik weet het niet Waar ligt dan 11/3 op de getallenas ? Wel dan deel je 11 door 3 . Dat geeft dan 3 en met een rest van 2. (quötient = 3 en rest = 2 ) Dat betekent dat je 11/3 kunt schrijven als 3 + 2/3 Dus ligt 11/3 tussen de gehele getallen 3 en 4 , en op 2/3 afstand van 3 ( of 1/3 afstand van 4 ) Waar ligt dan 22/3 ? Wel 22 gedeeld door 3 is gelijk aan 7 met een rest van 2 dus Dus ligt 22/3 tussen de gehele getallen 7 en 8 , en op 1/3 afstand van 7 ( of 2/3 afstand van 8) meer uitleg en meer oefeningen in https://www.youtube.com/watch?v=9OJTuwC9cgs

Als je de afstand tussen 2 punten berekent, gebruik je volgende formule Als voorbeeld berekenen we de afstand tussen P(1,5) en Q(-3,8) Lange berekening waarbij je goed moet opletten om alles juist te plaatsen Dit gaat echter ook op een veel snellere manier, door het verschil tussen de coördinaten te berekenen. Eerst zoeken we het verschil tussen de x coördinaten, dus tussen 1 en -3 . Dat verschil is 4 . Je mag ook schrijven tussen -3 en 1 . Dan krijg je ook 4 . Daarna zoeken we het verschil tussen de y coördinaten, dus tussen 5 en 8 . Dat verschil is 3 . Dan krijg je Een ander voorbeeld : Afstand tussen P(1,-2) en Q(7,3) Verschil x coördinaten tussen 1 en 7 = 6 Verschil y coördinaten tussen -2 en 3 = 5 Dus = Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende post met meet tips en tricks over wiskunde meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=meF5cRd_3rM =

Als je breuken optelt met een geheel getal, als voorbeeld Dan één van de mogelijke manieren is om een 1 onder het geheel getal te plaatsen En dan zo de breuk uit te werken ( gelijknamig noemer enzovoort). Dan krijg je In sommige gevallen zijn er sneller methodes om een breuk met een geheel getal op te tellen, namelijk een breuk optellen met 1 In dit geval merk je dat we 1 optellen bij een breuk en dan de teller van de breuk gelijk is aan 1. Dan is de noemer (van de som) gelijk aan de noemer van de breuk = 3 En de teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk = 1 + 3 = 4 Ander voorbeeld Ook met breuken waar de teller niet gelijk is aan 1, kun je dit toepassen Hier tellen ook 1 op bij een breuk, maar de waarde van de teller is niet gelijk aan 1. Noemer (van de som) is gelijk aan de noemer van de breuk = 3 Teller (van de som) is gelijk aan de som van de teller van de breuk en noemer van de breuk 2 + 3 = 5 Nog een voorbeeld : meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=WxzdNdnuI7g Bedankt om deze blog te lezen en tot de volgende blog met nog meer tips en tricks in wiskunde mvg Jozef Aerts

De stelling van Pythagoras is een van de bekendste, zo niet de meest bekende stelling in de wiskunde en zegt dat in een rechthoekige driehoek volgende eigenschap geldt Nu, 3 getallen die voldoen aan deze eigenschappen worden getallen van Pythagoras genoemd. En als je die getallen van Pythagoras kent, kun je snel oefeningen op de stelling van Pythagoras oplossen. De basis voor de getallen van Pythagoras zijn 3 , 4 en 5 omdat En als gevolg voldoet elk veelvoud van 3 , 4 en 5 dan ook aan de stelling van Pythagoras Hier een overzicht van de meest voorkomende getallen van Pythagoras 1 3 4 5 2 6 8 10 3 9 12 15 4 12 15 20 5 15 20 25 6 18 24 30 7 21 28 35 8 24 32 40 9 27 36 45 10 30 40 50 0,5 1,5 2 2,5 0,3 0,9 1,2 1,5 Ter controle voor n = 7 , dan Dus als een je een rechthoekige driehoek hebt met rechthoekszijden met waarden 12 cm en 15 cm, dan zie je dat deze twee getallen voorkomen in deze lijst, en dan weet je onmiddellijk dat de schuine zijde gelijk is aan 20 cm Ander voorbeeld: rechthoekszijde 36 cm en schuine zijde is 45 cm, dan kan je afleiden dan de andere rechthoekszijde gelijk is aan 27 cm meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=e3tY8uoICSE Bedankt om deze blogpost te lezen en tot de volgende post met meer tricks en tips in wiskunde mvg Jozef Aerts

In deze blog geeft ik een snelle manier om grote getallen met elkaar te vermenigvuldigen, namelijk met hulp van distributiviteit Als voorbeeld We gaan eerst 57 splitsen. Je hebt verschillende keuzes: 57 = 50 + 7 = 60 – 3 = 40 + 17 enz. We kiezen hier voor 57 = 50 + 7 omdat je dan gaat werken met optellingen ( en niet met aftrekkingen). Dan krijg je 57 x 13 = ( 50 + 7 ) x 13 Nu gaan we de distributieve eigenschap toepassen namelijk ( a + b ) c = a c + b*c In dit geval ( 50 + 7 ) x 13 = 50 13 + 7 13 We gaan nu ook 13 splitsen en kiezen voor 13 = 10 + 3 ( je mag ook kiezen voor 13 = 20 – 7 ) Dan krijg je 50 13 + 7 13 = 50 ( 10 + 3 ) + 7 ( 10 + 3 ) We passen opnieuw de distributieve eigenschap toepassen en krijgen dan 50 ( 10 + 3 ) + 7 ( 10 + 3 ) = 50 50 3 + 7 10 + 7 3 Elke term apart uitwerken en dan krijg je 500 + 150 + 70 + 21 En als je die getallen optelt, krijg je 741 Dus meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=yKEsH9pGUrQ

In deze blog leg ik uit hoe je kwadraten kunt berekenen met hulp van merkwaardige producten. We gebruiken als formule Als voorbeeld berekenen we We gaan daarvoor 23 splitsen. Je hebt verschillende keuzes: 23 = 20 + 3 = 30 – 7 = 10 + 13 enz. We kiezen hier voor 23 = 20 + 3 omdat je dan gaat werken met optellingen ( en niet met aftrekkingen). Dan krijg je 23 = 20 + 3 Dan Nu gaan we het merkwaardig product toepassen met a = 20 en b = 3 Meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=LyZH40CQGg8

In deze blog leg ik uit hoe je vermenigvuldigingen kunt oplossen met hulp van merkwaardige producten. We gebruiken als formule Als voorbeeld berekenen we Je merk hier dat 78 = 80 – 2 en dat 82 = 80 + 2. Beide getallen zijn gecentreerd rond 80. Alleen in deze gevallen kunnen we deze methode gebruiken. Dan wordt 78 x 82 = ( 80 – 2 ) x ( 80 + 2 ) . Nu kunnen we het merkwaardig product toepassen met a = 80 en b = 2 . Dan krijg je meer uitleg en meer voorbeelden in https://www.youtube.com/watch?v=LyZH40CQGg8